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已知數列{an}滿足：a1=，且an=（n≥2，n∈N*）。
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）證明：對于一切正整數n，不等式a1·a2·…an＜2·n！
解：（1）將條件變?yōu)椋?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20111114/201111141410102341435.gif">
因此一個等比數列，其首項為，公比
從而
據此得 ①；
（2）據①得
為證a1·a2·…an＜2·n！
只要證n∈N*時有 ②
顯然，左端每個因式都是正數，先證明，對每個n∈N*，有  ③
用數學歸納法證明③式：
（i）n=1時，③式顯然成立，
（ii）設n=k時，③式成立
即
則當n=k+1時，


即當n=k+1時，③式也成立
故對一切n∈N*，③式都成立。
利用③得

故②式成立，從而結論成立。
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}滿足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若數列{bn}滿足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，試證明數列bn-1是等比數列；
（2）求數列{anbn}的前n項和Sn；
（3）數列{an-bn}是否存在最大項，如果存在求出，若不存在說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1則{an}的通項公式
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}滿足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）證明：對于一切正整數n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}滿足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k項的和S3k（用k，a表示）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•北京模擬）已知數列{an}滿足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通項公式an等于
2n-1
2n-1
．

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