Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長都等于2，D在AC₁上，F(xiàn)為BB₁中點，且FD⊥AC₁．
（1）試求

AD

DC1

的值；
（2）求點C₁到平面AFC的距離．

Answer 1

分析：（1）證明Rt△ABF≌Rt△C₁B₁F，利用D為AC₁的中點，可得結(jié)論；
（2）運用等體積法求解，即V_F-ACC1=V_C1-ACF，由此可得到結(jié)論．

解答：解：（1）連AF，F(xiàn)C₁，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱且各棱長都等于2，F(xiàn)為BB₁中點，
∴Rt△ABF≌Rt△C₁B₁F，∴AF=FC₁．
又在△AFC₁中，F(xiàn)D⊥AC₁，所以D為AC₁的中點，即

AD

DC1

=1．
（2）由題意易得AC=2，AF=CF=

5

，∴S_△ACF=2，
V_F-ACC1=V_E-ACC1=

1

3

×

1

2

×2×2×

3

=

2 3

3

，
記點C₁到平面AFC的距離為h，則V_F-ACC1=V_C1-ACF=

1

3

S_△ACF×h，∴h=

3

．
故點C₁到平面AFC的距離為

3

．

點評：本題考查三棱錐體積的計算，考查點到面的距離的計算，考查學生的計算能力，屬于中檔題．