設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）2-ln（1+x）2。
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時，不等式f（x）＜m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的方程x2+x+a=f（x）在[0，2]上恰有兩個相異實根，求實數(shù)a的取值范圍。
解：（1）函數(shù)的定義域為（-∞，-1）∪（-1，+∞）

由f'（x）>0，得-2 ＜x＜-1或x>0；
由f'（x）＜0，得x＜-2或-1＜x＜0
所以f（x）的遞增區(qū)間是（-2，-1），（0，+∞）；
遞減區(qū)間是（-∞，-2），（-1，0）。
（2）由（1）知f（x）在上單調(diào)遞減，在[0，e-1]上單調(diào)遞增
又
且
所以當(dāng)時，f（x）max=e2-2
因為當(dāng)時，不等式f（x）＜m恒成立，
所以m>f（x）max，即m>e2-2，
故m的取值范圍為（e2-2，+∞）。
（3）方程f（x）=x2+x+a，即x-a+1-ln（1+x）2=0
記g（x）=x-a+1-ln（1+x）2，則
由g'（x）>0，得x＜-1或x>1；
由g'（x）＜0，得-1＜x＜1
所以g（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增
為使f（x）=x2+x+a在[0，2]上恰有兩個相異的實根，
只需g（x）=0在[0，1）和（1，2]上各有一個實根，
于是有即
解得2-2ln2＜a≤3-2ln3
故實數(shù)a的取值范圍是（2-2ln2，3-2ln3]。
練習(xí)冊系列答案
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設(shè)函數(shù)f（x）=ax3-3x+1（x∈R），若對于任意的x∈[-1，1]都有f（x）≥0成立，則實數(shù)a的值為
4
4
．

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（2013•安徽）設(shè)函數(shù)f（x）=ax-（1+a2）x2，其中a＞0，區(qū)間I={x|f（x）＞0}
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（2007•浦東新區(qū)二模）記函數(shù)f（x）=f1（x），f（f（x））=f2（x），它們定義域的交集為D，若對任意的x∈D，f2（x）=x，則稱f（x）是集合M的元素．
（1）判斷函數(shù)f（x）=-x+1，g（x）=2x-1是否是M的元素；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=log2（1-2x），求f（x）的反函數(shù)f-1（x），并判斷f（x）是否是M的元素；
（3）f（x）=
axx+b
∈M（a＜0），求使f（x）＜1成立的x的范圍．

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記函數(shù)f（x）=f1（x），f（f（x））=f2（x），它們定義域的交集為D，若對任意的x∈D，f2（x）=x，則稱f（x）是集合M的元素，
例如f（x）=-x+1，對任意x∈R，f2（x）=f（f（x））=-（-x+1）+1=x，故f（x）=-x+1∈M．
（1）設(shè)函數(shù)f（x）=log2（1-2x），判斷f（x）是否是M的元素，并求f（x）的反函數(shù)f-1（x）；
（2）f(x)=
axx+b
∈M（a＜0），求使f（x）＜1成立的x的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）設(shè)函數(shù)f（x）=xlog2x+（1-x）log2（1-x）（0＜x＜1），求f（x）的最小值．
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