Question

（2013•上海） 如圖，在長方體ABCD-A′B′C′D′中，AB=2，AD=1，AA′=1．證明直線BC′平行于平面D′AC，并求直線BC′到平面D′AC的距離．

Answer 1

分析：建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面D′AC的一個法向量為

n

=（2，1，-2），再根據(jù)

n

•

BC′

=-0，可得 

n

⊥

BC′

，
可得直線BC′平行于平面D′AC．求出點B到平面D′AC的距離d=

| n • CB |

| n |

 的值，即為直線BC′到平面D′AC的距離．

解答：解：以D′A′所在的直線為x軸，以D′C′所在的直線為y軸，以D′D所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
則由題意可得，點A（1，0，1 ）、B（1，2，1）、C（0，2，1）、C′（0，2，0）、D′（0，0，0）．
設(shè)平面D′AC的一個法向量為

n

=（u，v，w），則由

n

⊥

D′A

，

n

⊥

D′C

，可得

n

•

D′A

=0，

n

•

D′C

=0．
∵

D′A

=（1，0，1），

D′C

=（0，2，1），∴

u+w=0 2v+w=0

，解得

u=2v w=-2v

．
令v=1，可得 u=2，w=-2，可得

n

=（2，1，-2）．
由于

BC′

=（-1，0，-1），∴

n

•

BC′

=-0，故有 

n

⊥

BC′

．
再由BC′不在平面D′AC內(nèi)，可得直線BC′平行于平面D′AC．
由于

CB

=（1，0，0），可得點B到平面D′AC的距離d=

| n • CB |

| n |

=

|2×1+1×0+(-2)×0|

22+12+(-2)2

=

2

3

，
故直線BC′到平面D′AC的距離為

2

3

．

點評：本題主要考查利用向量法證明直線和平面平行，求直線到平面的距離的方法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．