Question

6．解方程：ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）+ln（$\sqrt{4{x}^{2}+1}$+2x）+3x=0．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）+x，利用函數(shù)的單調(diào)性奇偶性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）+x，
則方程ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）+ln（$\sqrt{4{x}^{2}+1}$+2x）+3x=0．等價(jià)為ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）+x+ln（$\sqrt{4{x}^{2}+1}$+2x）+2x=0．
即f（x）+f（2x）=0，
∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在R上為增函數(shù)，
∴f（2x）=-f（x）=f（-x），
則2x=-x，解得x=0．
即方程的解為x=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．