Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-2處取得極值，并且它的圖象與直線y=-3x+3在點（ 1，0 ） 處相切，
（1）求a，b，c的值．
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=m有三個不同實根，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）欲求函數(shù)的解析式，只需找到關(guān)于a，b，c的三個方程即可，因為函數(shù)f（x）在x=-2時取得極值，所以當(dāng)x=-2時，導(dǎo)數(shù)等于0，因為函數(shù)圖象與直線y=-3x+3切于點P（1，0）．所以當(dāng)x=1時，導(dǎo)數(shù)等于-3，原函數(shù)值等于0，這樣就得到關(guān)于a，b，c的三個方程，解出a，b，c即可．
（2）數(shù)形結(jié)合：關(guān)于x的方程f（x）=m有三個不同實根，等價于函數(shù)y=f（x）和y=m圖象有三個交點，利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）的極大值、極小值，則m介于兩者之間；

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
∵函數(shù)f（x）在x=-2時取得極值，∴f′（-2）=0，即12-4a+b=0①，
∵函數(shù)圖象與直線y=-3x+3切于點P（1，0）．
∴f′（1）=-3，f（1）=0，即 3+2a+b=-3②，1+a+b+c=0③，
由①②③解得a=1，b=-8，c=6；
（2）由（1）知，f（x）=x³+x²-8x+6，f′（x）=3x²+2x-8=（3x-4）（x+2），
由f′（x）＞0得，x＜-2或x＞

4

3

，由f′（x）＜0得，-2＜x＜

4

3

，
所以f（x）在（-∞，-2）和（

4

3

，+∞）上遞增，在（-2，

4

3

）上遞減，
所以當(dāng)x=-2時f（x）取得極大值f（-2）=18，當(dāng)x=

4

3

時f（x）取得極小值f（

4

3

）=-

62

27

，
因為關(guān)于x的方程f（x）=m有三個不同實根，所以函數(shù)y=f（x）和y=m圖象有三個交點，
所以-

62

27

＜m＜18，即為m的取值范圍．

點評：本題考查函數(shù)在某點取得極值的條件及方程根的個數(shù)問題，注意函數(shù)在某點取得極值的充要條件為該點處導(dǎo)數(shù)為0，且兩側(cè)異號；方程根的個數(shù)問題往往利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象交點個數(shù)．