Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，且滿足，
（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由，知，由此能證明數(shù)列是等差數(shù)列．
（Ⅱ）由是等差數(shù)列，知=，故，所以，由此利用錯位相減法能求出．
解答：（Ⅰ）證明：∵，
∴，（3分）
∴數(shù)列是公差的等差數(shù)列．（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知是等差數(shù)列，
∴=，
∴，（8分）
∴，①
（2n-1）•3^n-1+（2n+1）•3ⁿ，②
①-②，得-2S_n=3+2（3+3²+3³+…+3^n-1）-（2n+1）•3ⁿ
=3+2×-（2n+1）•3ⁿ
=3+3ⁿ-3-（2n+1）•3ⁿ
=-2n•3ⁿ，
∴．（12分）
點評：本題考查等差數(shù)列的證明和數(shù)列前n項和的求法，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)和錯位相減法的合理運用．