Question

設函數f（x）=blnx-（x-1）²，其中b為常數．
（Ⅰ）若b=4，求函數f（x）的單調遞減區(qū)間；
（II）若函數f（x）有極值點，求b的取值范圍及f（x）的極值點；
（Ⅲ） 證明：對任意不小于3的正整數n，不等式ln(n+1)-lnn＞

1

n2

都成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求函數的導函數f′（x），b=4時，解不等式f′（x）＜0，即可得函數的單調遞減區(qū)間
（II）函數的定義域為（0，+∞），函數f（x）有極值點即方程f′（x）=0有正根，從而求得b的范圍，但要求極值點，必須討論極值點的個數，分兩種情況分別討論函數的單調區(qū)間，得相應的極值點
（Ⅲ）所證不等式即ln

n+1

n

-（

n+1

n

-1）²＞0，結合（II），只需證明b=1，且n≥3時，f（

n+1

n

）＞0，因為f（1）=0，故只需利用函數f（x）=lnx-（x-1）²在（1，

3

2

）上為增函數即可得證

解答：解：∵f′（x）=

b

x

-2（x-1）=

-2x2+2x+b

x

（Ⅰ）∵b=4∴f′（x）=

-2x2+2x+4

x

=

-2(x+1)(x-2)

x

 （x＞0）
由f′（x）＜0，得x＞2
∴函數f（x）的單調遞減區(qū)間為（2，+∞）
（II）∵函數f（x）有極值點，∴f′（x）=0有正根，
即2x²-2x-b=0有正根
∵y=2x²-2x-b的對稱軸為

1

2

＞0，
∴只需△=4+8b＞0，∴b＞-

1

2

①若-

1

2

＜b＜0，∵2x²-2x-b=0的兩根之積為-

b

2

＞0，∴此方程有兩個正根

1- 2+2b

2

，

1+ 2+2b

2

函數f（x）在（0，

1- 2+2b

2

）上為減函數，在（

1- 2+2b

2

，

1+ 2+2b

2

）上為增函數，在（

1+ 2+2b

2

，+∞）上為減函數
∴函數f（x）的極小值點為x=

1- 2+2b

2

，極大值點為x=

1+ 2+2b

2

②若b≥0，∵2x²-2x-b=0的兩根之積為-

b

2

≤0，∴此方程有一個正根

1+ 2+2b

2

函數f（x）在（0，

1+ 2+2b

2

）上為增函數，在（

1+ 2+2b

2

，+∞）上為減函數
∴函數f（x）無極小值點，極大值點為x=

1+ 2+2b

2

綜上所述，-

1

2

＜b＜0時，函數f（x）的極小值點為x=

1- 2+2b

2

，極大值點為x=

1+ 2+2b

2

；
b≥0時，函數f（x）無極小值點，極大值點為x=

1+ 2+2b

2

（Ⅲ）令b=1，由（II）知，函數f（x）=lnx-（x-1）²在（0，

3

2

）上為增函數，在（

3

2

，+∞）上為減函數，且f（1）=0
令t=

n+1

n

（n≥3），則1＜t＜

3

2

∵函數f（x）=lnx-（x-1）²在（1，

3

2

）上為增函數，
∴f（t）＞f（1）=0
即f（

n+1

n

）＞0
即ln

n+1

n

-（

n+1

n

-1）²＞0
∴對任意不小于3的正整數n，不等式ln(n+1)-lnn＞

1

n2

都成立

點評：本題綜合考查了利用導數求函數單調區(qū)間的方法，利用導數求函數的極值點的方法，利用導數證明不等式的方法．