Question

17．在平面直角坐標系xoy中，圓O：x²+y²=1，圓M：（x+a+3）²+（y-2a）²=1（a為實數）．若圓O和圓M上分別存在點P，Q，使得∠OQP=30°，則a的取值范圍為-1≤a≤$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 從圓M上的點向圓上的點連線成角，當且僅當兩條線均為切線時才是最大的角，OP=1，利用圓O和圓M上分別存在點P，Q，使得∠OQP=30°，可得|OM|≤2，進而得出答案．

解答 解：由題意，圓M：（x+a+3）²+（y-2a）²=1（a為實數），圓心為M（-a-3，2a）
從圓M上的點向圓上的點連線成角，當且僅當兩條線均為切線時才是最大的角，OP=1．
∵圓O和圓M上分別存在點P，Q，使得∠OQP=30°，
∴|OM|≤2，
∴（a+3）²+4a²≤4，
∴-1≤a≤$\frac{3}{5}$，
故答案為：-1≤a≤$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查了直線與圓相切的性質、兩點間的距離的計算公式、數形結合思想方法，屬于中檔題．