Question

如圖，在四棱錐中，為平行四邊形，且平面，，為的中點，．

(Ⅰ) 求證：//；
(Ⅱ)若， 求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；(Ⅱ) .

試題分析：（Ⅰ）依題意，設與的交點，說明為的中位線，//，從而//；(Ⅱ) 用定義法與向量法求解，用定義法，必須作出二面角的平面角，在利用相似三角形對應邊成比例及直角三角形中三角函數(shù)的定義求解；用向量法，需要建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，本題以點為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸和軸，建立空間直角坐標系最佳，求平面的法向量與平面的一個法向量為， 利用公式求解.
試題解析：（Ⅰ）證明： 連接，設與相交于點，連接，

∵ 四邊形是平行四邊形，∴點為的中點．
∵為的中點，∴為的中位線，
∴//，             2分
∵，
∴//．          4分
(Ⅱ) 解法一 ： ∵平面，//， 則平面，故，
又, 且，
∴ ．               6分
取的中點，連接，則//，且 ．
∴ ．
作，垂足為，連接，由于，且，
∴，∴ ．
∴為二面角的平面角．    9分
由∽，得，得，
在中，．
∴ 二面角的余弦值為．      12分
(Ⅱ) 解法二： ∵平面，， 則平面，故，
又, 且，∴．            6分

以點為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸和軸，建立空間直角坐標系．則，，，，， 
∴， ，
求得平面的法向量為，
又平面的一個法向量為，
∴  .    
∴ 二面角的余弦值為.    12分