如圖,在四棱錐

中,

為平行四邊形,且

平面

,

,

為

的中點(diǎn),

.

(Ⅰ) 求證:

//

;
(Ⅱ)若

, 求二面角

的余弦值.
(Ⅰ)詳見(jiàn)解析;(Ⅱ)

.
試題分析:(Ⅰ)依題意,設(shè)

與

的交點(diǎn)

,說(shuō)明

為

的中位線,

//

,從而

//

;(Ⅱ) 用定義法與向量法求解,用定義法,必須作出二面角的平面角,在利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例及直角三角形中三角函數(shù)的定義求解;用向量法,需要建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,本題以點(diǎn)

為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以

所在直線為

軸,

軸和

軸,建立空間直角坐標(biāo)系

最佳,求平面

的法向量

與平面

的一個(gè)法向量為

, 利用公式

求解.
試題解析:(Ⅰ)證明: 連接

,設(shè)

與

相交于點(diǎn)

,連接

,

∵ 四邊形

是平行四邊形,∴點(diǎn)

為

的中點(diǎn).
∵

為

的中點(diǎn),∴

為

的中位線,
∴

//

, 2分
∵

,
∴

//

. 4分
(Ⅱ) 解法一 : ∵

平面

,

//

, 則

平面

,故

,
又

, 且

,
∴

. 6分
取

的中點(diǎn)

,連接

,則

//

,且

.
∴

.
作

,垂足為

,連接

,由于

,且

,
∴

,∴

.
∴

為二面角

的平面角. 9分
由

∽

,得

,得

,
在

中,

.
∴ 二面角

的余弦值為

. 12分
(Ⅱ) 解法二: ∵

平面

,

, 則

平面

,故

,
又

, 且

,∴

. 6分

以點(diǎn)

為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以

所在直線為

軸,

軸和

軸,建立空間直角坐標(biāo)系

.則

,

,

,

,

,
∴

,

,
求得平面

的法向量為

,
又平面

的一個(gè)法向量為

,
∴

.
∴ 二面角

的余弦值為

. 12分
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
如圖,在長(zhǎng)方體

,中,

,點(diǎn)

在棱AB上移動(dòng).

(Ⅰ)證明:

;
(Ⅱ)當(dāng)

為

的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)

到面

的距離;
(Ⅲ)

等于何值時(shí),二面角

的大小為

.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:單選題
設(shè)平面α的一個(gè)法向量為
=(1,2,-2),平面β的一個(gè)法向量為
=(-2,-4,k),若α
∥β,則k=( �。�
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:填空題
如圖所示,正方體
ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為
a,
M、
N分別為
A1B和
AC上的點(diǎn),
A1M=
AN=
a,則
MN與平面
BB1C1C的位置關(guān)系是________.

查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:單選題
如圖,平面

平面

,四邊形

是正方形,四邊形

是矩形,且

,

是

的中點(diǎn),則

與平面

所成角的正弦值為( �。�

查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
在邊長(zhǎng)是2的正方體

-

中,

分別為

的中點(diǎn). 應(yīng)用空間向量方法求解下列問(wèn)題.

(1)求EF的長(zhǎng)
(2)證明:

平面

;
(3)證明:

平面

.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
已知平行四邊形ABCD中,AB=6,AD=10,BD=8,E是線段AD的中點(diǎn).沿BD將△BCD翻折到△

,使得平面

⊥平面ABD.

(Ⅰ)求證:

平面ABD;
(Ⅱ)求直線

與平面

所成角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角

的余弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
(12分)如圖7-15,在正三棱柱ABC—A
1B
1C
1中,各棱長(zhǎng)都等于a,D、E分別是AC
1、BB
1的中點(diǎn),
(1)求證:DE是異面直線AC
1與BB
1的公垂線段,并求其長(zhǎng)度;
(2)求二面角E—AC
1—C的大��;
(3)求點(diǎn)C
1到平面AEC的距離。

查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:填空題
查看答案和解析>>