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如圖，在空間四邊形PABC中，PA⊥面ABC，AC⊥BC，若點A在PB、PC上的射影分別是E、F，求證：EF⊥PB.

解析:欲證EF⊥PB,由已知AE⊥PB,可考慮從確定平面PBC的垂線入手,用三垂線定理或逆定理進行證明.

證明:∵PA⊥平面ABC,

∴PA⊥BC.

    又∵AC⊥BC,PA∩AC=A,

∴BC⊥平面PAC.

    而AF平面PAC,

∴BC⊥AF.

    又∵F是點A在PC上的射影,

∴AF⊥PC.

∴AF⊥平面PBC.

∴AE在面PBC的射影為EF.

    又∵E為A在PB上的射影,

∴AE⊥PB.

    由三垂線定理的逆定理知EF⊥PB.

點評:(1)應用三垂線定理或逆定理證明線線垂直,關鍵是確定好平面的垂線.如本題證明AF⊥面PBC是關鍵.

(2)本題也可以通過證明PB⊥面AEF,來證明PB⊥EF.

練習冊系列答案
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如圖，在空間四邊形ABCD中，M，N分別是線段AB，AD上的點，若
AM
MB
=
AN
ND
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如圖，在空間四邊形ABCD中，M，N分別是線段AB，AD上的點，若
AM
MB
=
AN
ND
，P為線段CD上的一點（P與D不重合），過M，N，P的平面交平面BCD于Q，求證：BD∥PQ．
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如圖，在空間四邊形ABCD中，M，N分別是線段AB，AD上的點，若，P為線段CD上的一點（P與D不重合），過M，N，P的平面交平面BCD于Q，求證：BD∥PQ．

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