Question

已知直線l：X-y+1=0，⊙O：x²+y²=2上的任意一點P到直線l的距離為d．當d取得最大時對應P的坐標（m，n），設g（x）=mx+-2lnx．
（1）求證：當x≥1，g（x）≥0恒成立；
（2）討論關于x的方程：根的個數．

Answer 1

【答案】分析：首先（1）求證函數恒成立的問題，可以根據求導函數來判斷函數的單調性，求得最值，然后直接求得結果．
（2）討論關于x的方程根的個數可以求導函數，然后判斷其單調性后，分段討論在各個區(qū)間根的情況．
解答：解：（1）由題意得P（1，-1），
∴m=1，n=-1∴
∴，
∴g（x）在[1，+∞）是單調增函數，
∴g（x）≥g（1）=1-1-2ln1=0對于x∈[1，+∞）恒成立．
（2）方程；
∴2lnx=2x³-4ex²+tx
∵x＞0，∴方程為
令，H（x）=2x²-4ex+t，
∵，當x∈（0，e）時，L′（x）≥0，
∴L′（x）在（0，e]上為增函數；x∈[e，+∞）時，L′（x）≤0，
∴L′（x）在[0，e）上為減函數，
當x=e時，
H（x）=2x²-4ex+t=2（x-e）²+t-2e²，
∴可以分析①當，即時，方程無解．
②當，即時，方程有一個根．
③當，即時，方程有兩個根．
點評：此題主要考查函數恒成立的問題的證明及根存在性及根個數的判斷問題，其中應用到用導函數求單調性極值的思想，有一定的計算量，屬于綜合性試題．