設(shè)f（x）是定于在（0，1）上的函數(shù)，且滿(mǎn)足：①對(duì)任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②對(duì)任意x1，x2∈（0，1），恒有
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤2，則關(guān)于函數(shù)f（x）有：
（1）對(duì)任意x∈（0，1），都有f（x）＞f（1-x）；
（2）對(duì)任意x∈（0，1），都有f（x）=f（1-x）；
（3）對(duì)任意x∈（0，1），恒有f′（x）=0；
（4）當(dāng)x∈（0，1），函數(shù)y=
f(x)
x
+x為減函數(shù)．
上述四個(gè)命題中正確的有______．
因?yàn)閷?duì)任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0，
所以令x1=x，x2=1-x，則
f(x)
f(1-x)
+
f(1-x)
f(x)
≥2
f(x)
f(1-x)
?
f(1-x)
f(x)
=2，
由②知
f(x)
f(1-x)
+
f(1-x)
f(x)
≤2，所以必有
f(x)
f(1-x)
+
f(1-x)
f(x)
=2，當(dāng)且僅當(dāng)
f(x)
f(1-x)
=
f(1-x)
f(x)
=1，即f（x）=f（1-x）時(shí)取等號(hào)，所以（1）錯(cuò)誤，（2）正確．
（3）將②中的變量x1，x2，交換位置得
f(x2)
f(x1)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
≤2，③，將②③相加得
f(x2)
f(x1)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
+
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤4，
因?yàn)?span >
f(x2)
f(x1)
+
f(x1)
f(x2)
≥2
f(x2)
f(x1)
?
f(x1)
f(x2)
=2，
f(1-x2)
f(1-x1)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≥2
f(1-x2)
f(1-x1)
?
f(1-x1)
f(1-x2)
=2，
所以
f(x2)
f(x1)
+
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≥4，所以
f(x2)
f(x1)
+
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
=4，
當(dāng)且僅當(dāng)，
f(x2)
f(x1)
=
f(x1)
f(x2)
=1，
f(1-x2)
f(1-x1)
=
f(1-x1)
f(1-x2)
=1，取等號(hào)，所以f（x1）=f（x2），即對(duì)任意的變量x1，x2，都有所以f（x1）=f（x2），
所以f（x）為常數(shù)，所以f'（x）=0，所以（3）成立．
（4）因?yàn)閒（x）為常數(shù)，所以設(shè)f（x）=c＞0，
所以y=
f(x)
x
+x=
c
x
+x，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y'=1-
c
x2
，當(dāng)x＞0時(shí)，由y'＜0得，0＜x＜
c
，所以函數(shù)在（0，
c
）上單調(diào)遞減，所以當(dāng)c＜1時(shí)，函數(shù)y=
f(x)
x
+x為減函數(shù)不一定正確．
故正確的是（2）（3）．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

給定下列四個(gè)命題：
①“若a＞1且b＞1，則a+b＞2”的否命題為真命題；
②命題“p∨q為真”是命題“p∧q為真”的必要不充分條件；
③若loga
2
3
＜1，則a的取值范圍為a＞1或0＜a＜
2
3
；
④若實(shí)數(shù)x，y∈[-1，1]，則滿(mǎn)足x2+y2≥1的概率為
π
4

其中為假命題的是______（填上所有正確命題的序號(hào)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

給出下列結(jié)論：
①與圓x2+y2=1及圓x2+y2-8x+12=0都外切的圓的圓心在一個(gè)橢圓上．
②若直線(xiàn)y=kx-1與雙曲線(xiàn)x2-y2=4右支有兩個(gè)公共點(diǎn)，則k∈(1，
5
2
)．
③經(jīng)過(guò)橢圓
x2
2
+y2=1的右焦點(diǎn)F作傾斜角為600的直線(xiàn)l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且|AF|＞|BF|，則
AF
=
9+3
2
7
FB
．
④拋物線(xiàn)y2=2x上的點(diǎn)P到直線(xiàn)y=x+4的距離的最小值為
7
2
4
．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

關(guān)于函數(shù)f（x）=|x|x+bx+c，給出下列四個(gè)命題：其中正確的命題序號(hào)為_(kāi)_____．
①b=0，c＞0時(shí)，f（x）=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
②c=0時(shí)，f（x）是奇函數(shù)；
③y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，c）對(duì)稱(chēng)；
④函數(shù)f（x）至多有兩個(gè)零點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

（1）16的四次方根是±2；
（2）集合A={x|y=
x
}，B={y|y=2x2-1，x∈R}則A∩B=B；
（3）若|log3a|=|log3b|，且a≠b，a＞0，b＞0則ab=1；
（4）若函數(shù)f（x+1）是偶函數(shù)，則f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)；
其中正確的序號(hào)是______$\end{array}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

原命題為：“若m，n都是奇數(shù)，則m+n是偶數(shù)”，其中原命題、逆命題、否命題、逆否命題中，其中真命題的個(gè)數(shù)是（　�。�
A．0B．1C．2D．4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

直線(xiàn)m、n和平面a、β．下列四個(gè)命題中，
①若m∥a，n∥a，則m∥n；
②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β；
③若α⊥β，m?α，則m⊥β；
④若α⊥β，m⊥β，m?α，則m∥α，
其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　�。�
A．0B．1C．2D．3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

下列判斷錯(cuò)誤的是（　�。�
A．a(chǎn)，b，m為實(shí)數(shù)，則“am2＜bm2”是“a＜b”的充分不必要條件
B．命題“對(duì)任意x∈R，x3-x2-1≤0”的否定是“存在x∈R，x3-x2-1＞0”
C．若p且q為假命題，則p，q均為假命題
D．命題“若x=y，則sinx=siny”的逆否命題為真命題

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx，有以下4個(gè)命題：
①對(duì)任意的x1、x2∈（0，+∞），有f(
x1+x2
2
)≤
f(x1)+f(x2)
2
；
②對(duì)任意的x1、x2∈（1，+∞），有f（x1）-f（x2）＜x2-x1；
③對(duì)任意的x1、x2∈（e，+∞），有x1f（x2）＜x2f（x1）；
④對(duì)任意的0＜x1＜x2，總有x0∈（x1，x2），使得f(x0)≤
f(x1)-f(x2)
x1-x2
．其中正確的是______（填寫(xiě)序號(hào)）．

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