已知數(shù)列{an}中,,點(n,,2an+1-an)(n∈N*)在直線y=x上.
(Ⅰ)計算a2,a3,a4的值;
(Ⅱ)令bn=an+1-an-1,求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(Ⅲ)求數(shù)列{an}的通項公式.
【答案】分析:(I)由已知中點(n,2an+1-an)(n∈N*)在直線y=x上可得n=2an+1-an,結(jié)合,依次代入n=2,n=3,n=4中即可得到a2,a3,a4的值;
(Ⅱ)由已知中bn=an+1-an-1,我們可以分別計算出bn及bn+1的表達式,然后代入中,易判斷為定值,結(jié)合,求出b1的值,即可判斷出數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(Ⅲ)由(II)的結(jié)論我們易給出數(shù)列{bn}的通項公式,然后結(jié)合bn=an+1-an-1,利用累加法即可求出數(shù)列{an}的通項公式.
解答:解:(Ⅰ)由題意,.(2分)
同理,(3分)
(Ⅱ)因為2an+1-an=n,
所以,(5分)(7分)
,所以數(shù)列{bn}是以為首項,為公比的等比數(shù)列.(9分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知(10分)
∴an+1-an-1=∴an+1-an=+1(11分)
∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)(12分)
=-+n-1
=(14分)
點評:本題考查的知識點是數(shù)列的遞推公式,及等比關系的確定,判斷一個數(shù)列為等比數(shù)列就是根據(jù)定義判定判斷為定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)
,則
lim
n→∞
an
=
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=
an
1+2an
,則{an}的通項公式an=
1
2n-1
1
2n-1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列{
2n
an
}
的前n項和Tn

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=
1
2
,Sn
為數(shù)列的前n項和,且Sn
1
an
的一個等比中項為n(n∈N*
),則
lim
n→∞
Sn
=
1
1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,2nan+1=(n+1)an,則數(shù)列{an}的通項公式為(  )
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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