Question

已知數(shù)列{a_n}中，，點（n，，2a_n+1-a_n）（n∈N^*）在直線y=x上．
（Ⅰ）計算a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）令b_n=a_n+1-a_n-1，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅲ）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中點（n，2a_n+1-a_n）（n∈N^*）在直線y=x上可得n=2a_n+1-a_n，結(jié)合，依次代入n=2，n=3，n=4中即可得到a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）由已知中b_n=a_n+1-a_n-1，我們可以分別計算出b_n及b_n+1的表達式，然后代入中，易判斷為定值，結(jié)合，求出b₁的值，即可判斷出數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅲ）由（II）的結(jié)論我們易給出數(shù)列{b_n}的通項公式，然后結(jié)合b_n=a_n+1-a_n-1，利用累加法即可求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
解答：解：（Ⅰ）由題意，．（2分）
同理，（3分）
（Ⅱ）因為2a_n+1-a_n=n，
所以，（5分）（7分）
又，所以數(shù)列{b_n}是以為首項，為公比的等比數(shù)列．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知（10分）
∴a_n+1-a_n-1=∴a_n+1-a_n=+1（11分）
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）（12分）
=-+n-1
=（14分）
點評：本題考查的知識點是數(shù)列的遞推公式，及等比關系的確定，判斷一個數(shù)列為等比數(shù)列就是根據(jù)定義判定判斷為定值．