Question

如圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB=90°，點(diǎn)B₁在底面ABC上的射影恰好是BC的中點(diǎn)，且BC=CA=AA₁．
（Ⅰ）求證：平面ACC₁A₁⊥平面B₁C₁CB；
（Ⅱ）求證：BC₁⊥AB₁；
（Ⅲ）求二面角B-AB₁-C₁的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要證平面ACC₁A₁⊥平面B₁C₁CB，只需證明平面ACC₁A₁內(nèi)的直線AC，垂直平面B₁C₁CB內(nèi)的兩條相交直線B₁M，BC即可；
法一：（Ⅱ）連接B₁C，說明B₁C是直線AB₁在平面B₁C₁CB上的射影，證明B₁C⊥BC₁即可證明BC₁⊥AB₁；
（Ⅲ）過點(diǎn)B作BH⊥AB₁交AB₁于點(diǎn)H，連接C₁H，說明∠BHC₁是二面角B-AB₁-C₁的平面角，解三角形BHC₁求二面角B-AB₁-C₁的大�。�
法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．（Ⅱ）求出，計(jì)算，即可證明BC₁⊥AB₁；
（Ⅲ）求出平面ABB₁的法向量為n₁，平面AB₁C₁的法向量為n₂，通過求出二面角的大�。�
解答：（Ⅰ）證明：設(shè)BC的中點(diǎn)為M．
在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點(diǎn)B₁在底面ABC上的射影恰好是BC的中點(diǎn)，
∴B₁M⊥平面ABC．（1分）∵AC?平面ABC，∴B₁M⊥AC．（2分）
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．∵B₁M∩BC=M，
∴AC⊥平面B₁C₁CB．（4分）
∵AC?平面ACC₁A₁，∴平面ACC₁A₁⊥平面B₁C₁CB．（5分）
解法一：（Ⅱ）連接B₁C，∵AC⊥平面B₁C₁CB，
∴B₁C是直線AB₁在平面B₁C₁CB上的射影．（5分）
∵BC=CC₁，∴四邊形B₁C₁CB是菱形．
∴B₁C⊥BC₁．（7分）∴AB₁⊥BC₁；（9分）

（Ⅲ）過點(diǎn)B作BH⊥AB₁交AB₁于點(diǎn)H，連接C₁H．
∵AB₁⊥BC₁，∴AB₁⊥平面BHC₁．
∴AB₁⊥C₁H．∴∠BHC₁是二面角B-AB₁-C₁的平面角．（11分）
設(shè)BC=2，則BC=CA=AA₁=2，∵B₁M⊥BC，BM=MC，
∴B₁C=B₁B=2．∴BB₁=B₁C=BC=2．∴∠B₁BC=60°．
∴∠BCC₁=120°．∴．∵AC⊥平面BC₁，B₁C?平面BC₁，
∴AC⊥B₁C．∴．
在△BB₁A中，可求．
∵B₁B=B₁C₁，B₁H=B₁H，∴Rt△BB₁H≌Rt△C₁B₁H．
∴．
∴．（13分）
∴．
∴二面角B-AB₁-C₁的大小為．（14分）

解法二：（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)B₁在底面ABC上的射影是BC的中點(diǎn)，
設(shè)BC的中點(diǎn)為O，則B₁M⊥平面ABC．以O(shè)為原點(diǎn)，
過O平行于CA的直線為x軸，BC所在直線為y軸，
OB₁所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)BC=CA=AA₁=1，由題意可知，
．
設(shè)C₁（x，y，z），由，得
（7分）∴．
又．
∴．
∴AB₁⊥BC₁；（9分）

（Ⅲ）設(shè)平面ABB₁的法向量為n₁=（x₁，y₁，1）．
則
∴
∴．
設(shè)平面AB₁C₁的法向量為n₂=（x₂，y₂，1）．則
∴∴．（12分）
∴．（13分）
∴二面角B-AB₁-C₁的大小為．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的判定，二面角及其度量，考查計(jì)算能力，邏輯思維能力，轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．