Question

已知函數(shù)f（x）=x⁴+ax³+2x²+b（x∈R），其中a，b∈R．
（1）當(dāng)a=-

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時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）僅在x=0處有極值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，然后將a的值代入，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)增，導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)減，可判斷函數(shù)的單調(diào)性．
（2）根據(jù)（1）中的導(dǎo)函數(shù)，可判斷x=0不是方程4x²+3ax+4=0的根，進(jìn)而得到函數(shù)由極值的充要條件，求出a的范圍．

解答：解：（1）f′（x）=4x³+3ax²+4x=x（4x²+3ax+4）．
當(dāng)a=-

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時(shí)，f′（x）=x（4x²-10x+4）=2x（2x-1）（x-2）．
令f′（x）=0，解得x₁=0，x₂=

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，x₃=2．
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

所以f（x）在（0，

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2

），（2，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，在（-∞，0），（

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，2）內(nèi)是減函數(shù)．

（2）f′（x）=x（4x²+3ax+4），顯然x=0不是方程4x²+3ax+4=0的根．
為使f（x）僅在x=0處有極值，必須4x²+3ax+4≥0成立，即有△=9a²-64≤0．
解此不等式，得-

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≤a≤

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．
這時(shí)，f（0）=b是唯一極值．
因此滿足條件的a的取值范圍是[-

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，

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]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)與其導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系．導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)下放到高中，是高考的熱點(diǎn)問題，每年必考要給予重視．