正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=2,E,F(xiàn)分別是D1B,AD的中點(diǎn),cos<
DD1
,
CE
>=
3
3

(1)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求出E點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)證明:EF是異面直線D1B與AD的公垂線;
(3)求二面角D1-BF-C的余弦值.
分析:(1)以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)D1(0,0,2m)(m>0),由cos<
CE
,
DD1
>=
3
3
構(gòu)造關(guān)于m的方程,可求出E點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)分別求出向量
BD1
,
EF
,
AD
的向量坐標(biāo),進(jìn)而利用向量垂直的充要條件,可證得
BD1
EF
EF
AD
,進(jìn)而由E∈D1B,F(xiàn)∈AD可得EF是AD與D1B的公垂線
(3)求出平面FD1B的一個(gè)法向量
n
,結(jié)合向量
DD1
為底面的法向量,代入向量夾角公式,可得二面角D1-BF-C的余弦值.
解答:解:(1)以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則A、B、C的坐標(biāo)分別為A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0).
設(shè)D1(0,0,2m)(m>0),則E(1,1,m).
CE
=(1,-1,m),
DD1
=(0,0,2m)
∴cos<
CE
,
DD1
>=
2m2
2+m2•2m
=
2m2
2+m2
•2m
=
3
3

解得m=1
故E點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1,1)
證明:(2)由(I)可知,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為2的正方體.
又∵FD=1,
∴F(1,0,0),
BD1
=(-2,-2,2),
EF
=(0,-1,-1),
AD
=(-2,0,0)
BD1
EF
=0+2-2=0,
EF
AD
=0+0+0=0
BD1
EF
,
EF
AD
 
又∵E∈D1B,F(xiàn)∈AD
∴故EF是AD與D1B的公垂線
解:(3)設(shè)
n
⊥平面FD1B,
n
=(x,y,z)
n
D1F
n
FB
,則
n
D1F
=0
n
FB
=0

又∵
D1F
=(1,0,-2),
FB
=(1,2,0)
x-2z=0
x+2y=0

令z=1,則
n
=(2,-1,1)
DD1
n
所成角θ等于二面角D1-FB-C的平面角,
cosθ=
|
n
DD1
|
|
n
||
DD1
|
=
2
6
•2
=
6
6

∴二面角D1-BF-C的余弦值為
6
6
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法,空間坐標(biāo)系,線線垂直的充要條件,其中建立空間坐標(biāo)系,將二面角問(wèn)題和直線垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角和向量垂直問(wèn)題是解答的關(guān)鍵.
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頂點(diǎn)在同一球面上的正四棱柱ABCD-A′B′C′D′中,AB=1,AA′=
2
,則A、C兩點(diǎn)間的球面距離為(  )
A、
π
4
B、
π
2
C、
2
π 
4
D、
2
π 
2

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3
AB=
2
,則二面角A′-BD-A的大小為( 。
A、30°B、45°
C、60°D、90°

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頂點(diǎn)在同一球面上的正四棱柱ABCD-A′B′C′D中,AB=1,AA′=
6
,則A、C兩點(diǎn)間的球面距離為
2
3
π
2
3
π

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已知正四棱柱ABCD-A′B′C′D′的外接球直徑為
6
,底面邊長(zhǎng)AB=1,則側(cè)棱BB′與平面AB′C所成角的正切值為
 

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