Question

（2007•寶山區(qū)一模）下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)，既是單調(diào)遞增函數(shù)，又是奇函數(shù)的是（　�。�

• A．f（x）=sinx+x²
• B．f（x）=

  1

  x3

  +x
• C．f(x)=lnx-

  1

  x

• D．f（x）=3^x-3^-x

Answer 1

分析：C：因為函數(shù)f(x)=lnx-

1

x

的定義域為（0，+∞）不關于原點對稱，所以此函數(shù)不具有奇偶性．
A：因為函數(shù)不滿足f（-x）≠-f（x），所以此函數(shù)在定義域內(nèi)不是奇函數(shù)．
B：由函數(shù)的解析式可得：f′（x）=1-

3

x4

≥0在其定義域內(nèi)不是恒成立，所以函數(shù)在定義域內(nèi)不是單調(diào)遞增函數(shù)．
D：由題意可得f（-x）=-f（x），并且f′（x）=3xln3+

ln3

3x

＞0恒成立，所以此函數(shù)既是單調(diào)遞增函數(shù)，又是奇函數(shù)．

解答：解：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可得：若函數(shù)具有奇偶性則其定義域關于原點對稱，因為函數(shù)f(x)=lnx-

1

x

的定義域為（0，+∞），所以此函數(shù)不具有奇偶性，所以C答案錯誤．
A：因為函數(shù)的解析式為f（x）=sinx+x²，所以f（-x）≠-f（x），所以此函數(shù)在定義域內(nèi)不是奇函數(shù)，所以A錯誤．
B：由函數(shù)f（x）=

1

x3

+x可得：f′（x）=1-

3

x4

，所以f′（x）=1-

3

x4

≥0在其定義域內(nèi)不是恒成立，所以函數(shù)在定義域內(nèi)不是單調(diào)遞增函數(shù)，所以B錯誤．
D：由函數(shù)f（x）=3^x-3^-x可得f（-x）=-f（x），并且f′（x）=3xln3+

ln3

3x

＞0恒成立，所以此函數(shù)既是單調(diào)遞增函數(shù)，又是奇函數(shù)，所以D正確．
故選D．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，解決此類問題的關鍵是熟練掌握函數(shù)奇偶性的定義域判定方法，以及掌握利用導數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，掌握導數(shù)的運算公式與運算法則．