已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長為4，且離心率e=
2
2
．
（I）求橢圓的方程
（II）橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左頂點為A，右頂點為B，點S是橢圓C上位于x軸上方的動點，直線AS，BS與直線l：x=3分別交于M，N兩點，求線段MN的長度的最小值．
分析：（I）利用橢圓的長軸長為4，且離心率e=
2
2
，求出幾何量，從而可得橢圓的方程；
（II）設(shè)出AS的方程代入橢圓方程，利用韋達定理，確定S的坐標，從而可得SB的方程，與直線x=3聯(lián)立，求出N的坐標，進而可得|MN|，利用基本不等式，可得結(jié)論．
解答：解：（I）由題設(shè)可得2a=4，
c
a
=
2
2

∴a=2，c=
2

∴b2=a2-c2=2
∴橢圓的方程為
x2
4
+
y2
2
=1；
（II）由題意，直線AS的斜率k存在，且k＞0，故可設(shè)AS的方程為y=k（x+2），代入橢圓方程，
可得（1+2k2）x2+8k2x+8k2-4=0
設(shè)S（x1，y1），則（-2）×x1=
8k2-4
1+2k2
，∴x1=
2-4k2
1+2k2
，∴y1=
4k
1+2k2

∵B（2，0），可得SB的方程為
y-0
4k
1+2k2
-0
=
x-2
2-4k2
1+2k2
-2

化簡可得y=-
1
2k
(x-2)
由
y=-
1
2k
(x-2)
x=3
，可得
x=3
y=-
1
2k
，∴N（3，-
1
2k
）
故|MN|=|5k+
1
2k
|
∵k＞0，∴|MN|=5k+
1
2k
≥
10

當且僅當5k=
1
2k
，即k=
10
10
時等號成立
∴k=
10
10
時，線段MN的長度的最小值為
10
．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案