Question

（2012•淮北一模）設(shè)函數(shù)f(x)=

1+x

1-x

e-ax
（1）寫出定義域及f′（x）的解析式，
（2）設(shè)a＞O，討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)分母不能為0，求出f（x）的定義域，根據(jù)求導(dǎo)的乘法法則，對f（x）進行求導(dǎo)；
（2）已知a＞0，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，先令f′（x）=0．，求出極值點，從而求解；

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=

1+x

1-x

e-ax
∴1-x≠0，∴x≠1，
∴f（x）的定義域為（-∞，1）∪（1，+∞），
∴f′（x）=e^-ax（-a）×

1+x

1-x

+

1-x-(1+x)×(-1)

(1-x)2

×e^-ax=

ax2+2-a

(1-x)2

e-ax（3分）；
（2）∵a＞O，f（x）=

ax2+2-a

(1-x)2

e-ax
①當0＜a≤2時，f'（x）≥0，所以，f（x）在（-∞，1），（1，+∞）上為增函數(shù)     （5分）
②當a＞2，由f′（x）=

ax2+2-a

(1-x)2

e-ax＞0，得ax²+2-a＞0，
解得，x＞

a-2 a

或x＜-

a-2 a

此f（x）在 x＞

a-2 a

或x＜-

a-2 a

上為增函數(shù)；
在(-

a-2 a

，

a-2 a

)上有f′（x）＜0為減函數(shù)（12分）
∴綜上①②可得：
f（x）在（-∞，

a-2 a

），（

a-2 a

，1），（1，+∞）上為增函數(shù)，
在(-

a-2 a

，

a-2 a

)上是減函數(shù)（12分）．

點評：此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解此題的關(guān)鍵是對f（x）要正確求導(dǎo)，f（x）的表達式比較復(fù)雜，注意計算時要仔細，此題是一道基礎(chǔ)題．