Question

已知函數(shù)F（x）=

3x-2

2x-1

(x≠

1

2

)．
（I）求F（

1

2011

）+F（

2

2011

）+…+F（

2010

2011

）；
（II）已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=F（a_n），證明{

1

an-1

}為等差數(shù)列（n∈N^*），并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（III）已知若b＞a＞0，c＞0，則必有

b

a

＞

b+c

a+c

，利用此結(jié)論，求證：a₁a₂…a_n＞

2n+1

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（I）由F（x）=

3x-2

2x-1

(x≠

1

2

)，得F（x）+F（1-x）=3，設(shè)S=F（

1

2011

）+F（

2

2011

）+…+F（

2010

2011

），利用倒序相加法能求出F（

1

2011

）+F（

2

2011

）+…+F（

2010

2011

）的值．
（II）將等式a_n+1=F（a_n）的兩邊同時減去1，得an+1-1=

3an-2

2an-1

-1=

an-1

2an-1

，由此能證明證明{

1

an-1

}為等差數(shù)列（n∈N^*），并求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（III）由

2n

2n-1

＞

2n+1

2n

，得an=

2n

2n-1

＞

2n+1 2n-1

，由此能夠證明a₁a₂…a_n＞

2n+1

（n∈N^*）．

解答：解：（I）∵F（x）=

3x-2

2x-1

(x≠

1

2

)，
∴F（x）+F（1-x）=

3x-2

2x-1

+

3(1-x)-2

2(1-x)-1

=

3x-2

2x-1

+

1-3x

1-2x

=

6x-3

2x-1

=3，
設(shè)S=F（

1

2011

）+F（

2

2011

）+…+F（

2010

2011

），①
則S=F（

2010

2011

）+F（

2009

2011

）+…+F（

1

2011

），②
①+②，得2S=[F（

1

2011

）+F（

2010

2011

）]+[F（

2

2011

）+F（

2009

2011

）]+…+[F（

2010

2011

）+F（

1

2011

）]=3×2010=6030，
∴S=3015，
∴F（

1

2011

）+F（

2

2011

）+…+F（

2010

2011

）=3015．
（II）將等式a_n+1=F（a_n）的兩邊同時減去1，
得an+1-1=

3an-2

2an-1

-1=

an-1

2an-1

，
∴

1

an+1-1

=

2an-1

an-1

=

2(an-1)+1

an-1

=2+

1

an-1

，
即

1

an+1-1

-

1

an-1

=2，又

1

a1-1

=

1

2-1

=1，
∴數(shù)列{

1

an-1

}是以2為公差，1為首項的等差數(shù)列，
所以

1

an-1

=1+(n-1)×2=2n-1，
所以an=1+

1

2n-1

=

2n

2n-1

．
（III）∵

2n

2n-1

＞

2n+1

2n

，
∴(

2n

2n-1

)2＞

2n+1

2n

•

2n

2n-1

=

2n+1

2n-1

，
∴an=

2n

2n-1

＞

2n+1 2n-1

，
∴a₁a₂…a_n＞

3 1 × 5 3 × 7 5 ×…× 2n+1 2n-1

=

2n+1

（n∈N^*）．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查等差數(shù)列的證明，解題時要認真審題，仔細解答，注意構(gòu)造法和放縮法的合理運用．