Question

【題目】計(jì)劃在某水庫建一座至多安裝 臺發(fā)電機(jī)的水電站，過去 年的水文資料顯示，水庫年入流量 （年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和．單位：億立方米）都在40以上，不足 的年份有 年，不低于 且不超過 的年份有 年，超過 的年份有 年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立．
（1）求未來 年中，設(shè) 表示流量超過 的年數(shù)，求 的分布列及期望；
（2）水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)受年入流量 限制，并有如下關(guān)系：

年入流量
發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)	1

若某臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺年利潤為 萬元，若某臺發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺年虧損 萬元，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺？

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意， ，

由二項(xiàng)分布可知， .

, ,

, ,

所以 的分布列為

	0	1	2	3
P	0.729	0.243	0.027	0.001

（2）解：記水電站的總利潤為 （單位：萬元），

①假如安裝1臺發(fā)點(diǎn)機(jī)，由于水庫年入流總量大于40，故一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1，對應(yīng)的年

利潤 ， ；

②若安裝2臺發(fā)電機(jī)，

當(dāng) 時(shí)，只一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí) ， ，

當(dāng) 時(shí)，2臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí) ， ，

.

③若安裝3臺發(fā)電機(jī)，

當(dāng) 時(shí)，1臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí) ， ，

當(dāng) 時(shí)，2臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí) ， ，

當(dāng) 時(shí)，3臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí) ， ，

綜上可知，欲使總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝2臺發(fā)電機(jī)

【解析】(1)根據(jù)題意 P ( X > 120 ) = 0.1 ，由二項(xiàng)分布 ξ ~ B ( 3 , 0.1 )計(jì)算出對應(yīng)的概率值，寫出 ξ 的分布列，計(jì)算出數(shù)學(xué)的期望值即可。(2)根據(jù)題意結(jié)合已知條件分情況討論得出年利潤E(Y)的值，比較即可得出結(jié)論。