Question

解關于實數(shù)x的不等式

ax

x-1

＜1，a∈R．

Answer 1

分析：先通分為：(x-1)(x-

1

1-a

)＜0，因為方程(x-1)(x-

1

1-a

)=0的兩根x=1與x=

1

1-a

，大小沒法比較，所以要分類討論，①a＞1；②0＜a＜1，③a=1，④a=0，⑤a＜0，從而求出不等式的解．

解答：解：（1）當a=1時，原不等式等價于x-1＜0，即x＜1，故原不等式的解集為{x|x＜1}
（2）當a＞1時，原不等式等價于(x-1)(x-

1

1-a

)＜0即

1

1-a

＜x＜1，故原不等式的解集為{x|

1

1-a

＜x＜1}
（3）當0＜a＜1時，原不等式等價于(x-1)(x-

1

1-a

)＞0即x＞

1

1-a

或x＜1，故原不等式的解集為{x|x＞

1

1-a

或x＜1}
（4）當a=0時，原不等式等價于（x-1）²＞0，即x≠1，故原不等式的解集為{x|x∈R，x≠1}
（5）當a＜0時，原不等式等價于(x-1)(x-

1

1-a

)＞0，即x＞1或x＜

1

1-a

，故原不等式的解集為{x|x＞1或x＜

1

1-a

}．

點評：此題主要考查一元二次不等式的解法，運用了分類討論的思想，分類討論的問題比較多，從而加大了試題的難度．