Question

設函數(shù)f（x）=（x-a）²，g（x）=x，x∈R，a為實常數(shù)．
（1）若a＞0，設F(x)=

f(x)

g(x)

，x≠0，用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)F（x）在區(qū)間[a，+∞）上是增函數(shù)；
（2）設關于x的方程f（x）=|g（x）|在R上恰好有三個不相等的實數(shù)解，求a的值所組成的集合．

Answer 1

（1）F(x)=

x2-2ax+a2

x

=x+

a2

x

-2a，任取x₁，x₂∈[a，+∞），且x₁＜x₂，
則F(x2)-F(x1)=x2-x1+a2(

1

x2

-

1

x1

)=(x2-x1)•

x1x2-a2

x1x2

，…（3分）
因為 a＞0，x₁≥a，x₂≥a且x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞a²，…（4分）
所以F（x₂）-F（x₁）＞0，所以函數(shù)F（x）在區(qū)間[a，+∞）上是增函數(shù)．…（6分）
（2）原方程為（x-a）²=|x|，
①當a=0時，原方程變?yōu)閤²=|x|，有-1，0，1三個解；…（8分）
②當a＜0時，函數(shù)y=（x-a）²與y=|x|的圖象在x＜0時有兩個交點，所以原方程在x＜0時有兩個不相等的實數(shù)解，要使原方程在x＞0時恰有一個解，當且僅當函數(shù)y=（x-a）²與y=|x|的圖象在x＞0時有且僅有一個公共點，即方程（x-a）²=x的判別式等于0，即（2a+1）²-4a²=0，解得a=-

1

4

；…（10分）
③同理，當a＞0時，原方程在x＞0時有兩個不相等的實數(shù)解，要原方程在x＜0時恰有一個解，當且僅當方程（x-a）²=-x的判別式等于0，即（2a-1）²-4a²=0，
解得a=

1

4

．…（12分）
綜上，a的值所組成的集合為{-

1

4

，0，

1

4

}．…（14分）