Question

設(shè)f(x)=kx-

k

x

-2lnx．
（1）若f'（2）=0，求過點(diǎn)（2，f（2））的切線方程；
（2）若f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式和求導(dǎo)法則，算出f'（x）的表達(dá)式，根據(jù)f'（2）=0算出k的值，從而得到切點(diǎn)坐標(biāo)（2，

6

5

-2ln2），最后根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程列式，化簡(jiǎn)即得曲線y=f（x）過點(diǎn)（2，f（2））的切線方程；
（2）根據(jù)題意，f'（x）≥0在其定義域（0，+∞）上恒成立，采用變量分離的方法并利用不基本不等式求最值，即可解出實(shí)數(shù)k的取值范圍為[1，+∞）．

解答：解：（1）∵f(x)=kx-

k

x

-2lnx，
∴f′(x)=k+

k

x2

-

2

x

=

kx2-2x+k

x2

∴f'（2）=0即

4k-4+k

4

=0，解之得k=

4

5

，
可得f（2）=2k-

k

2

-2ln2=

6

5

-2ln2
∴曲線y=f（x）過點(diǎn)（2，f（2））的切線方程為y-（

6

5

-2ln2）=0（x-2），化簡(jiǎn)得y=

6

5

-2ln2；
（2）由f′(x)=k+

k

x2

-

2

x

=

kx2-2x+k

x2

，令h（x）=kx²-2x+k，
要使f（x）在其定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增，
只需h（x）在（0，+∞）內(nèi)滿足：h（x）≥0恒成立．
由h（x）≥0，得kx²-2x+k≥0，即k≥

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

在（0，+∞）上恒成立
∵x＞0，得x+

1

x

≥2，∴

2

x+ 1 x

≤1，得k≥1
綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍為[1，+∞）．-----------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有對(duì)數(shù)和分母的初等函數(shù)，研究了函數(shù)圖象的切線和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，著重考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系和利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．