Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁ C₁中，側棱AA₁⊥平面ABC，AB=BC=AA₁=2，AC=2，E，F分別是A₁B，BC的中點．
（I）證明：EF∥平面A A_lC_lC；
（II）證明：AE⊥平面BEC．

Answer 1

【答案】分析：（I）連接A₁C，在△BA₁C中利用中位線定理，證出EF∥A₁C，再結合線面平行的判定定理即可證出EF∥平面A A_lC_lC；
（II）在△ABC中利用勾股定理的逆定理證出AB⊥BC，再由AA₁⊥平面ABC證出AA₁⊥BC，可得BC⊥平面AA₁B₁B．而AE?平面AA₁B₁B，所以AE⊥BC，等腰△AA₁B中運用“三線合一”證出AE⊥A₁B，最后利用線面垂直的判定定理，可得AE⊥平面BEC．
解答：解：（I）連接A₁C，則
∵△BA₁C中，E，F分別是A₁B，BC的中點．
∴EF∥A₁C
∵EF?平面A A_lC_lC，A₁C?平面A A_lC_lC，
∴EF∥平面A A_lC_lC；
（II）∵△ABC中，AB=BC=2，AC=2，
∴AB²+BC²=8=AC²，可得AB⊥BC
∵AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴AA₁⊥BC
∵AB、AA₁是平面AA₁B₁B內的相交直線，∴BC⊥平面AA₁B₁B
∵AE?平面AA₁B₁B，∴AE⊥BC
∵△AA₁B中，AB=AA₁=2，∴AE⊥A₁B
∵A₁B、BC是平面A₁BC內的相交直線，
∴AE⊥平面A₁BC，即AE⊥平面BEC．
點評：本題給出特殊的三棱柱，求證線面平行和線線垂直，著重考查了空間直線與平面垂直的判定與性質、線面平行的判定定理等知識，屬于基礎題．