Question

設(shè)f（x）=lnx
（1）設(shè)，求F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若不等式f（x+1）≤f（2x+1）-m²-3m+4對任意x∈[0，1]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意可得：，
所以函數(shù)的定義域為：（-2，-1）∪（-1，+∞），
所以，
令F'（x）＞0，得單調(diào)增區(qū)間：（-2，和，+∞）；
令F'（x）＜0，得單調(diào)減區(qū)間：，-1）和（-1，，
所以F（x）的單調(diào)增區(qū)間為：（-2，和，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為：，-1）和（-1，．
（2）不等式f（x+1）≤f（2x+1）-m²-3m+4化為：ln（x+1）≤ln（2x+1）-m²-3m+4，
即整理可得：．
設(shè)，
所以只需求的最大值≤-m²-3m+4即可，
因為在[0，1]上單調(diào)遞減，
所以，
所以在x=0處取得最大值0，
于是得到-m²-3m+4≥0即：m²+3m-4≤0，
解得：-4≤m≤1
∴m的取值范圍是：[-4，1]．
分析：（1）先求出函數(shù)的解析式，再求出函數(shù)的導函數(shù)，分別令導函數(shù)大于0，小于0，其對應的區(qū)間分別為函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間與單調(diào)減區(qū)間．
（2）首先分離出參數(shù)，再令，然后把恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題，再利用函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)的單調(diào)性，進而求出其最大值，進而求m的取值范圍．
點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性與函數(shù)的最值，以及不等式的恒成立問題與最值問題的相互轉(zhuǎn)化，解題時要認真審題，仔細解答．