Question

求函數f（x）=x²-4x+（2-a）lnx（a∈R）在區(qū)間[e，e²]上的最小值．

Answer 1

解：當x∈[e，e²]時，f（x）=x²-4x+（2-a）lnx，
所以 ，
設g（x）=2x²-4x+2-a．
①當a≤0時，有△=16-4×2（2-a）=8a≤0
所以f'（x）≥0，f（x）在[e，e²]上單調遞增．
所以f（x）_min=f（e）=e²-4e+2-a
②當a＞0時，△=16-4×2（2-a）=8a＞0，
令f'（x）＞0，即2x²-4x+2-a＞0，解得 或 （舍）；
令f'（x）＜0，即2x²-4x+2-a＜0，解得 ．
1⁰若 ，即a≥2（e²-1）²時，f（x）在區(qū)間[e，e²]單調遞減，
所以f（x）_min=f（e²）=e⁴-4e²+4-2a．
2⁰若 ，即2（e-1）²＜a＜2（e²-1）²時，f（x）在區(qū)間 上單調遞減，
在區(qū)間 上單調遞增，所以 ．
3⁰若 ，即0＜a≤2（e-1）²時，f（x）在區(qū)間[e，e²]單調遞增，
所以f（x）_min=f（e）=e²-4e+2-a．
綜上所述，
當a≥2（e²-1）²時，f（x）_min=e⁴-4e²+4-2a；
當2（e-1）²＜a＜2（e²-1）²時，；
當a≤2（e-1）²時，f（x）_min=e²-4e+2-a．
分析：先求函數的導數，即，再令g（x）=2x²-4x+2-a，對a進行討論，從而得到
f′（x）的符號，進而得到f（x）的單調性，從而得到函數的極值點、端點的函數值，比較極小值與端點函數值的大小，近而求出最小值．
點評：本題考查了復合函數的在閉區(qū)間上的最值問題，還有分類討論的思想，屬于中檔題．