Question

已知數(shù)列{a_n}是遞增的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列．
（1）若S₅=30，求等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁和公差d．
（2）若數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和T_n=（n²+n）3ⁿ，若對(duì)?n∈N^*，?m∈N^*，使

bn

Tn

＞Sm成立，求等差數(shù)列{a_n}公差d取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式列出方程求出首項(xiàng)和公差．
（2）利用數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和T_n求出通項(xiàng)，列出不等式恒成立，，?m∈N，不等式恒成立，求出S_m的最小值，對(duì)?n∈N^*，求出

bn

Tn

的最小值，求出d的范圍．

解答：解：（1）有條件可知，

a22=a1a4   S5=5a1+ 5×4 2 d=30   d＞0

?

a1=d   5a1+10d=30   d＞0

解得：a₁=d=2
（2）有條件（1）可知，a₁=d且d＞0
∴Sn=na1+

n(n-1)

2

d=

n(n+1)

2

d
∵d＞0
∴S_n單增
∴S_n的最小值為d
∵b_n前n項(xiàng)和T_n=（n²+n）3ⁿ
∴當(dāng)n=1時(shí)，b₁=T₁
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=T_n-T_n-1=（n²+n）3ⁿ-[（n-1）²+（n-1）]•3^n-1
∴

bn

Tn

＞d
∴等差數(shù)列a_n公
即1-

n2-n

3n2+3n

＞d恒成立
所以公差d∈[0，

2

3

]

點(diǎn)評(píng)：解決不等式恒成立時(shí)，常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，當(dāng)存在變量使不等式成立與對(duì)于任意變量不等式恒成立求的最值不同．