Question

已知函數(shù)f(x)＝sinx，g(x)＝mx－ (m為實(shí)數(shù))．
(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)P()，f()處的切線方程；
(2)求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(3)若m＝1，證明：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<g(x)＋.

Answer 1

（1）x－y＋1－＝0
（2）則g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－)，(，＋∞)．
（3）見(jiàn)解析

解：(1)由題意得所求切線的斜率k＝f′()＝cos＝.
切點(diǎn)P(，)，則切線方程為y－＝ (x－)，
即x－y＋1－＝0.
(2)g′(x)＝m－x².
①當(dāng)m≤0時(shí)，g′(x)≤0，則g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，＋∞)；
②當(dāng)m>0時(shí)，令g′(x)<0，解得x<－或x>，
則g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－)，(，＋∞)．
(3)證明：當(dāng)m＝1時(shí)，g(x)＝x－.
令h(x)＝x－sinx，x∈[0，＋∞)，h′(x)＝1－cosx≥0，
則h(x)是[0，＋∞)上的增函數(shù)．
故當(dāng)x>0時(shí)，h(x)>h(0)＝0，即sinx<x，f(x)<g(x)＋.