Question

某隧道長(zhǎng)2150米，通過(guò)隧道的車速不能超過(guò)20米/秒．一個(gè)由55輛車身都為10米的同一車型組成的運(yùn)輸車隊(duì)勻速通過(guò)該隧道．設(shè)車隊(duì)的速度為x米/秒，根據(jù)安全和車流的需要，相鄰兩車均保持(

a

6

x2+

1

3

x)米的距離，其中a為常數(shù)且

1

2

≤a≤1，自第一輛車車頭進(jìn)入隧道至第55輛車車尾離開(kāi)隧道所用時(shí)間為y（秒）．
（1）將y表示為x的函數(shù)；
（2）求車隊(duì)通過(guò)隧道所用時(shí)間取最小值時(shí)車隊(duì)的速度．

Answer 1

（1）依題意，自第一輛車車頭進(jìn)入隧道至第55輛車車尾離開(kāi)隧道所用時(shí)間y等于隧道長(zhǎng)加車長(zhǎng)加車的間隙長(zhǎng)，除以火車的速度x米/秒，
即  y=

2150+10×55+( a 6 x2+ 1 3 x)×(55-1)

x

=

2700

x

+9ax+18    （0＜x≤20，

1

2

≤a≤1）
（2）令

2700

x

=9ax，得x=

300 a

，又由

300 a

=20，得a=

3

4

∴①當(dāng)

3

4

≤a≤1時(shí)，

300 a

≤20
由均值定理知當(dāng)且僅當(dāng)x=

300 a

時(shí)，y=

2700

x

+9ax+18≥2

2700 x ×9ax

+18=180

3a

+18
即當(dāng)x=

300 a

時(shí)，y_min=180

3a

+18
②當(dāng)

1

2

≤a＜

3

4

時(shí)，

300 a

＞20
∵y′=-

2700

x2

+9a＜0，（0＜x≤20）
∴函數(shù)y=

2700

x

+9ax+18在（0，20]上是減函數(shù)，
∴當(dāng)x=20時(shí)，y_min=

2700

20

+180a+18=153+180a
答：若

1

2

≤a＜

3

4

，則當(dāng)車隊(duì)速度為20m/s時(shí)，通過(guò)隧道所用時(shí)間最少；若

3

4

≤a≤1，則當(dāng)車隊(duì)速度為

300 a

m/s時(shí)，通過(guò)隧道所用時(shí)間最少