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已知f（x）=a2x-2ax+1+2，（a＞0，a≠1）的定義域為[-1，+∞）．
（Ⅰ）若a=2，求y=f（x）的最小值；
（Ⅱ）當0＜a＜1時，若f（x）≤3對x∈[-1，2]恒成立，求a的范圍．
【答案】分析：（I）換元，轉化為二次函數，利用配方法可求y=f（x）的最小值；
（Ⅱ）換元，分離參數，求最大值，即可求a的范圍．
解答：解：（Ⅰ）若a=2，f（x）=22x-4×2x+2，x∈[-1，+∞）
令t=2x，g（t）=f（x）=t2-4×t+2=（t-2）2-2，
∵，∴f（x）的最小值為-2；…（5分）
（Ⅱ）令t=ax，…（7分）
當0＜a＜1時，在恒成立…（9分）…（11分）
所以．…（12分）
點評：本題考查函數的最值，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=a2x-
1
2
x3，x∈（-2，2）為正常數．
（1）可以證明：定理“若a、b∈R*，則
a+b
2
≥
ab
（當且僅當a=b時取等號）”推廣到三個正數時結論是正確的，試寫出推廣后的結論（無需證明）；
（2）若f（x）＞0在（0，2）上恒成立，且函數f（x）的最大值大于1，求實數a的取值范圍，并由此猜測y=f（x）的單調性（無需證明）；
（3）對滿足（2）的條件的一個常數a，設x=x1時，f（x）取得最大值．試構造一個定義在D={x|x＞-2，且x≠4k-2，k∈N}上的函數g（x），使當x∈（-2，2）時，g（x）=f（x），當x∈D時，g（x）取得最大值的自變量的值構成以x1為首項的等差數列．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=a2x-2ax+1+2，（a＞0，a≠1）的定義域為[-1，+∞）．
（Ⅰ）若a=2，求y=f（x）的最小值；
（Ⅱ）當0＜a＜1時，若f（x）≤3對x∈[-1，2]恒成立，求a的范圍．

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科目：高中數學 來源：2006年上海市八校高三聯考數學試卷（松江二中、青浦、七寶、育才、市二、行知、位育）（解析版） 題型：解答題

已知f（x）=a2x-x3，x∈（-2，2）為正常數．
（1）可以證明：定理“若a、b∈R*，則（當且僅當a=b時取等號）”推廣到三個正數時結論是正確的，試寫出推廣后的結論（無需證明）；
（2）若f（x）＞0在（0，2）上恒成立，且函數f（x）的最大值大于1，求實數a的取值范圍，并由此猜測y=f（x）的單調性（無需證明）；
（3）對滿足（2）的條件的一個常數a，設x=x1時，f（x）取得最大值．試構造一個定義在D={x|x＞-2，且x≠4k-2，k∈N}上的函數g（x），使當x∈（-2，2）時，g（x）=f（x），當x∈D時，g（x）取得最大值的自變量的值構成以x1為首項的等差數列．

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科目：高中數學 來源：2010年高考數學新題型解析選編（4）（解析版） 題型：解答題

已知f（x）=a2x-x3，x∈（-2，2）為正常數．
（1）可以證明：定理“若a、b∈R*，則（當且僅當a=b時取等號）”推廣到三個正數時結論是正確的，試寫出推廣后的結論（無需證明）；
（2）若f（x）＞0在（0，2）上恒成立，且函數f（x）的最大值大于1，求實數a的取值范圍，并由此猜測y=f（x）的單調性（無需證明）；
（3）對滿足（2）的條件的一個常數a，設x=x1時，f（x）取得最大值．試構造一個定義在D={x|x＞-2，且x≠4k-2，k∈N}上的函數g（x），使當x∈（-2，2）時，g（x）=f（x），當x∈D時，g（x）取得最大值的自變量的值構成以x1為首項的等差數列．

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