Question

證明函數(shù)y=

2-x

x-1

在區(qū)間[2，6]上是減函數(shù)，并求該函數(shù)在區(qū)間[2，6]上的值域．

Answer 1

分析：用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，再應(yīng)用單調(diào)性求出函數(shù)的最值，從而得出值域．

解答：解：∵函數(shù)y=

2-x

x-1

=

1

x-1

-1，
∴任取x₁，x₂∈[2，6]，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（

1

x1-1

-1）-（

1

x2-1

-1）=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

，
∵2＜x₁＜x₂＜6，
∴x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在區(qū)間[2，6]上是減函數(shù)，
∴f（x）的最大值是f（x）_max=f（2）=0，最小值是f（x）_min=f（6）=-

4

5

；
∴f（x）在區(qū)間[2，6]上的值域是[-

4

5

，0]．

點(diǎn)評：本題是必修一教材上的例題，考查了用定義判定函數(shù)的單調(diào)性以及應(yīng)用單調(diào)性求函數(shù)的最值問題，是基礎(chǔ)題．