已知三角形PAD所在平面與矩形ABCD所在平面互相垂直,PA=PD=AB=2,∠APD=120°,若點(diǎn)P、A、B、C、D都在同一球面上,則此球的表面積等于   
【答案】分析:設(shè)球心為O,如圖.由于點(diǎn)P、A、B、C、D都在同一球面上,∴OP=OB=R,設(shè)OE=x,分別在直角三角形BOE中,和在直角三角形POH中,列出球的半徑的式子,通過解方程求得此球的半徑,從而得出表面積.
解答:解:設(shè)球心為O,如圖.
由PA=PD=AB=2,∠APD=120°,可求得AD=2
在矩形ABCD中,可求得對角線BD=4,故BE=2
由于點(diǎn)P、A、B、C、D都在同一球面上,
∴OP=OB=R
設(shè)OE=x,在直角三角形BOE中,
OB2=BE2+OE2=4+x2
過O作線段OH垂直平面PAD于H點(diǎn),H是垂足,由于O點(diǎn)到面PAD的距離與點(diǎn)E到平面PAD的距離相等,故OH=1
∴在直角三角形POH中,PO2=OH2+PH2=1+(1+x)2
∴4+x2=1+(1+x)2,解得x=1,
∴球的半徑R=OB=
則此球的表面積等于=4πR2=20π.
故答案為:20π.
點(diǎn)評:本題是基礎(chǔ)題,考查球的體積和表面積,解題的根據(jù)是點(diǎn)P、A、B、C、D都在同一球面上,考查計算能力,空間想象能力.
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