Question

函數(shù)f（x）=x²+|x+a|-b的圖象上存在點P（x₁，f（x₁））對任意a∈[-1，3]都不在x軸的上方，則b的最小值為______．

Answer 1

若函數(shù)f（x）=x²+|x+a|-b的圖象上對任意a∈[-1，3]
都有點P（x₁，f（x₁））都不在x軸的上方
則對任意a∈[-1，3]，函數(shù)f（x）的最小值f（x）_min≤0恒成立，
∵f（x）=

x2-x-a-b，x≤-a x2+x+a-b，x＞-a

∵a∈[-1，3]
∴當(dāng)a∈[-1，-

1

2

]時，-a∈[

1

2

，1]，此時f（x）_min=f（

1

2

）=-

1

4

-a-b，
若f（x）_min≤0恒成立，則b≥

3

4

∴當(dāng)a∈（-

1

2

，

1

2

）時，-a∈（-

1

2

，

1

2

），此時f（x）_min=f（-a）=a²-b，
若f（x）_min≤0恒成立，則b≥1
當(dāng)a∈[

1

2

，3]時，-a∈[-3，-

1

2

]，此時f（x）_min=f（-

1

2

）=-

1

4

+a-b，
若f（x）_min≤0恒成立，則b≥

11

4

若f（x）_min≤0恒成立，則b的最小值為

11

4

故答案為

11

4