Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：S_n=1-a_n（n∈N^*），其中S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）試求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足：bn=

n

an

（n∈N^*），試求{b_n}的前n項(xiàng)和公式T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先把n=1代入求出a₁，再利用a_n+1=S_n+1-S_n求解數(shù)列的通項(xiàng)公式即可．
（Ⅱ）把（Ⅰ）的結(jié)論代入，發(fā)現(xiàn)其通項(xiàng)為一等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組成的新數(shù)列，故直接利用數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法求和即可．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n=1-a_n①
∴S_n+1=1-a_n+1   ②
②-①得a_n+1=-a_n+1+a_n?an+1=

1

2

a_n；
n=1時(shí)，a₁=1-a₁?a₁=

1

2

an=

1

2

•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n（6分）
（Ⅱ）因?yàn)?nbsp; b_n=

n

an

=n•2ⁿ．
所以  T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ  ③
故  2T_n=1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹    ④
③-④-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1
整理得  T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題的第一問考查已知前n項(xiàng)和為S_n求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，第二問考查了數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法．錯(cuò)位相減法適用于通項(xiàng)為一等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組成的新數(shù)列．