Question

設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}前n項和，對任意的n∈N^*，都有S_n=2-a_n，數(shù)列{b_n}滿足，b₁=2a₁，
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）求數(shù)列的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)n=1時，由a₁=S₁=2-a₁，可求a₁，n≥2時，由a_n=S_n-S_n-1，可得a_n=與a_n-1之間的遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可求a_n
（2）由，可得，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可求，進(jìn)而可求b_n
（3）由（1）（2）可求，利用錯位相減求和即可求解
解答：（本小題滿分14分）
證明：（1）當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2-a₁，解得a₁=1．                                …（1分）
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=a_n-1-a_n，即2a_n=a_n-1．
∴．                                                   …（2分）
∴數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為的等比數(shù)列，即．     …（4分）
解：（2）b₁=2a₁=2．                                                           …（5分）
∵，
∴，即．                  …（6分）
∴是首項為，公差為1的等差數(shù)列．                                 …（7分）
∴，…（8分）
（3）∵，
則．             …（9分）
所以，…（10分）
即，①…（11分）
則，②…（12分）
②-①得，…（13分）
故．                …（14分）
點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，還考查了錯位相減求和方法的應(yīng)用