已知在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，點P（x，y）在曲線C：
x=1+cosθ
y=sinθ
(θ為參數(shù)，θ∈R）上運動．以O(shè)x為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+
π
4
)=0．
（Ⅰ）寫出曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C相交于A、B兩點，點M在曲線C上移動，試求△ABM面積的最大值．
（1）消去參數(shù)θ，得曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程：（x-1）2+y2=1．
由ρcos(θ+
π
4
)=0得：ρcosθ-ρsinθ=0，
即直線l的直角坐標(biāo)方程為：x-y=0．
（2）圓心（1，0）到直線l的距離為d=
1
1+1
=
2
2
，
則圓上的點M到直線的最大距離
為d+r=
2
2
+1（其中r為曲線C的半徑），|AB|=2
12-(
2
2
)2
=
2
．設(shè)M點的坐標(biāo)為（x，y），
則過M且與直線l垂直的直線l'方程為：x+y-1=0，
則聯(lián)立方程
(x-1)2+y2=1
x+y-1=0
，
解得
x=
2
2
+1
y=-
2
2
，或
x=-
2
2
+1
y=
2
2
，
經(jīng)檢驗
x=-
2
2
+1
y=
2
2
舍去．
故當(dāng)點M為(
2
2
+1，-
2
2
)時，△ABM面積的最大值為（S△ABM）max=
1
2
×
2
×(
2
2
+1)=
2
+1
2
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，點P（x，y）在曲線C：
x=1+cosθ
y=sinθ
(θ為參數(shù)，θ∈R）上運動．以O(shè)x為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+
π
4
)=0．
（Ⅰ）寫出曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C相交于A、B兩點，點M在曲線C上移動，試求△ABM面積的最大值，并求此時M點的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為F(-
3
，0)，且過點D（2，0）．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點A(1，
1
2
)，若P是橢圓上的動點，求線段PA的中點M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知在平面直角坐標(biāo)系xoy中，圓C的參數(shù)方程為
x=
3
+3cosθ
y=1+3sinθ
，（θ為參數(shù)），以ox為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+
π
6
)=0，則圓C截直線l所得的弦長為
4
2
4
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在平面直角坐標(biāo)系中，O（0，0），A（1，-2），B（1，1），C（2，-1），動點M（x，y）滿足條件
-2≤
OM
•
OA
≤2
1≤
OM
•
OB
≤2
，則z=
OM
•
OC
的最大值為（　�。�
A、-1B、0C、3D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為F(-
3
，0)，右頂點為D（2，0），設(shè)點A(1，
1
2
)．
（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若P是橢圓上的動點，求線段PA中點M的軌跡方程；
（Ⅲ）是否存在直線l，滿足l過原點O并且交橢圓于點B、C，使得△ABC面積為1？如果存在，寫出l的方程；如果不存在，請說明理由．

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