Question

已知圓M：(x+

3

2

x)2+y2=

9r2

4

，點N（3r，0），其中r＞0，設P是圓上任一點，線段PN上的點Q滿足

PQ

QN

=

1

2

（1）求點Q的軌跡方程；
（2）若點Q對應曲線與x軸兩交點為A，B，點R是該曲線上一動點，曲線在R點處的切線與在A，B兩點處的切線分別交于C，D兩點，求AD與BC交點S的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）設點Q的坐標為（x，y），由題設條件求出點P的坐標為(

3(x-r)

2

，

3

2

y)，代入圓M的方程化簡就能得到所求點Q的軌跡方程．
（2）設點R的坐標為（x₀，y₀）（y₀≠0），則x₀²+y₀²=r²．由題設條件可求得C、D兩點的坐標為C(-r，

r2+x0r

y0

) ，D(r，

r2-x0r

y0

)，
再由直線BC、AD的方程分別為y=

r2+x0r

-2r2y02

(x-r)，y=

r2-x0r

2ry0

(x+r)，兩式相乘，得y2=

r2(r2-x02)

-4r2y02

(x2-r2)，化簡就能得到所求點S的軌跡方程．

解答：解：（1）設點Q的坐標為（x，y），∵

PQ

QN

=

1

2

，N（3r，0），
∴點P的坐標為(

3(x-r)

2

，

3

2

y)，代入圓M的方程化簡得x²+y²=r²即為所求點Q的軌跡方程．
（2）設點R的坐標為（x₀，y₀）（y₀≠0），則x₀²+y₀²=r²．
圓在R點處的切線方程為：x₀x+y₀y=r²．
又切線AC、BD的方程分別為x=-r，x=r，
解方程組可得C、D兩點的坐標為C(-r，

r2+x0r

y0

) ，D(r，

r2-x0r

y0

)，
∴直線BC、AD的方程分別為y=

r2+x0r

-2r2y02

(x-r)，y=

r2-x0r

2ry0

(x+r)，
兩式相乘，得y2=

r2(r2-x02)

-4r2y02

(x2-r2)，化簡得x²+4y²=r²（y≠0）．
∴所求點S的軌跡方程為x²+4y²=r²（y≠0）．

點評：本題考查軌跡方程，有一定的難度，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，耐心尋找數(shù)量間的相互關系，注意公式的靈活運用．