Question

(本題滿分13分)設(shè)函數(shù)滿足：都有，且時，取極小值

（1）的解析式；

（2）當(dāng)時，證明：函數(shù)圖象上任意兩點處的切線不可能互相垂直；

（3）設(shè), 當(dāng)時,求函數(shù)的最小值,并指出當(dāng)取最小值時相應(yīng)的值.

 

Answer 1

【答案】

(1)  

(2) 根據(jù)題意可知，由于，設(shè)：任意兩數(shù) 是函數(shù)圖像上兩點的橫坐標(biāo)，則這兩點處的切線的斜率分別是：，那么可以判定斜率之積不是-1，說明不能垂直

(3) 故當(dāng) 時,  有最小值

【解析】

試題分析：解：（）因為，成立，所以：，

由： ，得 ，

由：，得

解之得： 從而，函數(shù)解析式為： (4分)

（2）由于，，設(shè)：任意兩數(shù) 是函數(shù)圖像上兩點的橫坐標(biāo)，則這兩點處的切線的斜率分別是：

又因為：，所以，，得：知：

故，當(dāng) 是函數(shù)圖像上任意兩點處的切線不可能垂直  (8分)

（3）當(dāng) 時， 且 此時

 

   (11分)

當(dāng)且僅當(dāng)：即即，取等號，

所以

故當(dāng) 時,  有最小值   (13分)

(或)

考點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)的最值

點評：解決的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的符號確定出函數(shù)單調(diào)性，以及函數(shù)的極值，從而比較極值和端點值的函數(shù)值得到最值，屬于基礎(chǔ)題。