Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長均為2，P是側(cè)棱AA₁上任意一點．
（1）求證：B₁P不可能與平面ACC₁A₁垂直；
（2）當BC₁⊥B₁P時，求二面角C-B₁P-C₁的大�。�

Answer 1

分析：（1）連接B₁P，假設(shè)B₁P⊥平面ACC₁A₁，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知∠B₁A₁C₁=90°，這與△A₁B₁C₁是等邊三角形矛盾，所以B₁P不可能與平面ACC₁A₁垂直；
（2）取A₁B₁的中點D，連接C₁D、BD、BC₁，先求出AP長，連接B₁C，交BC₁于點O，過O在平面CPB₁上作OE⊥B₁P，交B₁P于點E，連接C₁E，根據(jù)二面角的定義證得∠OEC₁是二面角C-B₁P-C₁的平面角，在三角形OEC₁中求出此角即可．

解答：解：（1）證明：連接B₁P，假設(shè)B₁P⊥平面ACC₁A₁，則B₁P⊥A₁C₁．
由于三棱柱ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱，
∴AA₁⊥A₁C₁．
∴A₁C₁⊥側(cè)面ABB₁A₁．
∴A₁C₁⊥A₁B₁，
即∠B₁A₁C₁=90°．
這與△A₁B₁C₁是等邊三角形矛盾．
∴B₁P不可能與平面ACC₁A₁垂直．
（2）取A₁B₁的中點D，連接C₁D、BD、BC₁，
則C₁D⊥A₁B₁，又∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥C₁D．∴C₁D⊥平面ABB₁A₁．
∴BD是BC₁在平面ABB₁A₁上的射影．
∵BC₁⊥B₁P，∴BD⊥B₁P．∴∠B₁BD=90°-∠BB₁P=∠A₁B₁P．
又A₁B₁=B₁B=2，∴△BB₁D≌△B₁A₁P，A₁P=B₁D=1．∴AP=1．
連接B₁C，交BC₁于點O，則BC₁⊥B₁C．
又BC₁⊥B₁P，∴BC₁⊥平面B₁CP．
過O在平面CPB₁上作OE⊥B₁P，交B₁P于點E，
連接C₁E，則B₁P⊥C₁E，
∴∠OEC₁是二面角C-B₁P-C₁的平面角．
由于CP=B₁P=

5

，O為B₁C的中點，連接OP，
∴PO⊥B₁C，OP•OB₁=OE•B₁P．∴OE=

30

5

．
∴tan∠OEC₁=

OC1

OE

=

15

3

．
∴∠OEC₁=arctan

15

3

．
故二面角C-B₁P-C₁的大小為arctan

15

3

．

點評：本題主要考查了直線與平面的位置關(guān)系，以及二面角等有關(guān)知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．