Question

眉山市某中學有三位同學利用周末到東坡湖公園游玩，由于時間有限，三人商定在已圈定的10個娛樂項目中各自隨機的選擇一項體驗（選擇每個項目的可能性相同）
（Ⅰ）求三人中恰好有兩人選擇同一項目體驗的概率；
（Ⅱ）若10個項目中包括了滑旱冰、激流勇進、劃船項目，求三名同學選擇這三個項目的人員個數(shù)ξ的分布列與數(shù)學期望．

Answer 1

解：（Ⅰ）記“三人中恰有兩人選擇同一項目體驗”為事件A，依題意每人選擇每個項目的概率均為 （2分）
則P（A）=C₁₀¹C₃²×（）²×（）¹= （5分）
（Ⅱ）依題意ξ=0，1，2，3，而每個人選中滑旱冰、激流勇進、劃船項目的概率為，選中其它項目的概率，將三個同學選擇項目看作是三次獨立重復試驗，（6分）
則P（ξ=0）=（）³=，P（ξ=1）=C₃¹××（）²=，
P（ξ=2）=C₃²×（）²×=，P（ξ=3）=C₃³×（）³= （10分）
∴ξ的分布列為

∴Eξ=0×+1×+2×+3×=0.9．（12分）
分析：（Ⅰ）記“三人中恰有兩人選擇同一項目體驗”為事件A，依題意每人選擇每個項目的概率均為，由此能求出三人中恰好有兩人選擇同一項目體驗的概率；
（Ⅱ）依題意ξ=0，1，2，3，而每個人選中滑旱冰、激流勇進、劃船項目的概率為，選中其它項目的概率，將三個同學選擇項目看作是三次獨立重復試驗，則P（ξ=0）=（）³=，P（ξ=1）=C₃¹××（）²=，
P（ξ=2）=C₃²×（）²×=，P（ξ=3）=C₃³×（）³=，由此能求出ξ的分布列和期望．
點評：本題考查離散型隨機變量的期望和方差，解題時要注意n次獨立重復試驗恰好發(fā)生k次的概率公式的靈活運用．