Question

已知數列滿足，，是數列的前n項和，且有.

（1）證明：數列為等差數列；（2）求數列的通項公式；

（3）設，記數列的前n項和，求證：.

 

Answer 1

（1）見解析；（2）；（3）祥見解析．

【解析】

試題分析：（1）先由兩邊同時減１求出然后取倒，即可證明數列是等差數列；（2）由于當時，，然后將代入化簡即可得到的關系式，將所得式子轉化為：，最后應用疊乘法即可求得數列的通項公式；（3）由前兩問的結果可得到數列的通項公式為，應用裂項相消求和法先求出數列的前n項和，即可證得所要證明的不等式式．

試題解析：（1）證明： 1分

即： 3分

∴數列是以為首項，1為公差的等差數列. 4分

（2）【解析】
當時， 5分

， 即： 6分

8分

當時， ∴ 9分

（3）由（1）知： 10分

12分

...14分

考點：1．等差數列；2．數列通項公式的求法；３．數列前項和的求法．