【題目】如圖,橢圓與一等軸雙曲線相交,是其中一個(gè)交點(diǎn),并且雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn),,雙曲線的焦點(diǎn)是橢圓的左、右頂點(diǎn),設(shè)為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn),直線的斜率分別為,且直線與橢圓的交點(diǎn)分別為、、.

1)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)(i)證明:;

ii)是否存在常數(shù),使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1,;(2)(i)證明見解析;(ii)存在,.

【解析】

1)根據(jù)題意雙曲線的,進(jìn)而可求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;橢圓的,由可得,進(jìn)而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

2)(i)設(shè)點(diǎn),利用兩點(diǎn),,從而可得,將點(diǎn)代入雙曲線方程即可證出;(ii)假設(shè)存在常數(shù),使得恒成立,由(i)設(shè)直線的方程為,進(jìn)而求出直線的方程,把直線代入橢圓方程,利用弦長(zhǎng)公式求出, 同理求出弦長(zhǎng),代入整理即可求出的值

1)由題意知,雙曲線的,方程為:

橢圓:,即.

于是橢圓方程為;

2)(i)設(shè)點(diǎn),則,,

;

而由點(diǎn)在雙曲線上,可知,即有

從而,故.

ii)假設(shè)存在常數(shù),使得恒成立.

則由(i)知,所以可設(shè)直線的方程為,

直線的方程為;

把直線的方程為代入橢圓方程,

整理得;

若設(shè),則有,;

因此

同理可得;

因此由

.

所以存在常數(shù),使得恒成立.

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