Question

20．給定兩個(gè)命題，命題p：對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有ax²＞-ax-1恒成立，命題q：關(guān)于x的方程x²-x+a=0有實(shí)數(shù)根．若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 因?yàn)椤皃或q”為真命題，“p且q”為假命題，所以p，q中有且僅有一個(gè)為真命題．進(jìn)而可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：若p為真命題，則a=0或$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\{a}^{2}-4a＜0\end{array}\right.$．
即0≤a＜4；
若q為真命題，則（-1）²-4a≥0，即a≤$\frac{1}{4}$．
因?yàn)椤皃或q”為真命題，“p且q”為假命題，
所以p，q中有且僅有一個(gè)為真命題．
若p真q假，則$\frac{1}{4}$＜a＜4；
若p假q真，則a＜0．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，0）∪（$\frac{1}{4}$，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了復(fù)合命題，函數(shù)的恒成立問題，方程根的存在性及個(gè)數(shù)判斷等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔．