定義變換T：
cosθ•x+sinθ•y=x′
′sinθ•x-cosθ•y=y′
可把平面直角坐標(biāo)系上的點P（x，y）變換到這一平面上的點P′（x′，y′）．特別地，若曲線M上一點P經(jīng)變換公式T變換后得到的點P'與點P重合，則稱點P是曲線M在變換T下的不動點．
（1）若橢圓C的中心為坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，且焦距為2
2
，長軸頂點和短軸頂點間的距離為2．求該橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．并求出當(dāng)θ=arctan
3
4
時，其兩個焦點F1、F2經(jīng)變換公式T變換后得到的點F1′和F2′的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)θ=arctan
3
4
時，求（1）中的橢圓C在變換T下的所有不動點的坐標(biāo)；
（3）試探究：中心為坐標(biāo)原點、對稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線在變換T：
cosθ•x+sinθ•y=x′
′sinθ•x-cosθ•y=y′
（θ≠
kπ
2
，k∈Z）下的不動點的存在情況和個數(shù)．
分析：（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），求出c，a，b然后結(jié)合定義變換T，求出點F1′和F2′的坐標(biāo)．
（2）θ=arctan
3
4
時，利用（1）中的橢圓C在變換T下，點P（x，y）∈C，根據(jù)橢圓方程求出的不動點的坐標(biāo)；
（3）設(shè)P（x，y）是雙曲線在變換下的不動點，推出
y
x
=
1-cosθ
sinθ
=
sinθ
1+cosθ
=tan
θ
2
，設(shè)雙曲線方程為
x2
m
+
y2
n
=1（mn＜0），y=tan
θ
2
x代入，推出
n+mtan2
θ
2
mn
x2=1 討論mn＜0，故當(dāng)n+mtan2
θ
2
=0時，方程
n+mtan2
θ
2
mn
x2=1無解；
當(dāng)n+mtan2
θ
2
≠0時，要使不動點存在，則需x2=
mn
n+mtan2
θ
2
＞0，
因為mn＜0，故當(dāng)n+mtan2
θ
2
＜0時，雙曲線在變換T下一定有2個不動點，否則不存在不動點．
進一步分類：
（i）當(dāng)n＜0，m＞0下一定有2個不動點；
（ii）當(dāng)n＞0，m＜0時，雙曲線在變換T下一定有2個不動點．
解答：解：（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），
由橢圓定義知焦距2c=2
2
?c=
2
，即a2-b2=2①．
又由條件得a2+b2=4②，故由①、②可解得a2=3，b2=1．
即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
3
+y2=1．
且橢圓C兩個焦點的坐標(biāo)分別為F1(-
2
，0)和F1(
2
，0)．
對于變換T：
cosθ•x+sinθ•y=x′
′sinθ•x-cosθ•y=y′
，當(dāng)θ=arctan
3
4
時，
可得
4
5
x+
3
5
y=x′
3
5
x-
4
5
y=y′

設(shè)F1′（x1，y1）和F2′（x2，y2）分別是由F1(-
2
，0)和F1(
2
，0)的坐標(biāo)由變換公式T變換得到．于是，
x1=
4
5
•(-
2
)+
3
5
•0=-
4
2
5
y1=
3
5
•(-
2
)-
4
5
•0=-
3
2
5
，即F1′的坐標(biāo)為(-
4
2
5
，-
3
2
5
)；
又
x2=
4
5
•
2
+
3
5
•0=
4
2
5
y2=
3
5
•
2
-
4
5
•0=
3
2
5
即F2′的坐標(biāo)為(
4
2
5
，
3
2
5
)．
（2）設(shè)P（x，y）是橢圓C在變換T下的不動點，則當(dāng)θ=arctan
3
4
時，
有
4
5
x+
3
5
y=x
3
5
x-
4
5
y=y
?x=3y，由點P（x，y）∈C，即P（3y，y）∈C，
得：
(3y)2
3
+y2=1
y=±
1
2
x=3y
，因而橢圓
的不動點共有兩個，分別為(
3
2
，
1
2
)和(-
3
2
，-
1
2
)．
（3）設(shè)P（x，y）是雙曲線在變換
下的不動點，則由
cosθ•x+sinθ•y=xsinθ•x-cosθ•y=y
?
sinθ•y=(1-cosθ)•xsinθ•x=(1+cosθ)•y

因為θ≠
kπ
2
，k∈Z，故
y
x
=
1-cosθ
sinθ
=
sinθ
1+cosθ
=tan
θ
2
．
不妨設(shè)雙曲線方程為
x2
m
+
y2
n
=1（mn＜0），由y=tan
θ
2
x代入得
則有
x2
m
+
(tan
θ
2
•x)2
n
=1?
n+mtan2
θ
2
mn
x2=1，
因為mn＜0，故當(dāng)n+mtan2
θ
2
=0時，方程
n+mtan2
θ
2
mn
x2=1無解；
當(dāng)n+mtan2
θ
2
≠0時，要使不動點存在，則需x2=
mn
n+mtan2
θ
2
＞0，
因為mn＜0，故當(dāng)n+mtan2
θ
2
＜0時，雙曲線在變換T下一定有2個不動點，否則不存在不動點．
進一步分類可知：
（i）當(dāng)n＜0，m＞0時，即雙曲線的焦點在
軸上時，?n+mtan2
θ
2
＜0?tan2
θ
2
＜-
n
m
；
此時雙曲線在變換
下一定有2個不動點；
（ii）當(dāng)n＞0，m＜0時，即雙曲線的焦點在y軸上時，?n+mtan2
θ
2
＜0?tan2
θ
2
＞-
n
m
＞0．
此時雙曲線在變換T下一定有2個不動點．
點評：本題考查解橢圓的應(yīng)用，橢圓的簡單性質(zhì)，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想，計算能力，分類討論思想，是難題，創(chuàng)新題．
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