Question

定義變換T：

cosθ•x+sinθ•y=x′ ′sinθ•x-cosθ•y=y′

可把平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)P（x，y）變換到這一平面上的點(diǎn)P′（x′，y′）．特別地，若曲線M上一點(diǎn)P經(jīng)變換公式T變換后得到的點(diǎn)P'與點(diǎn)P重合，則稱點(diǎn)P是曲線M在變換T下的不動點(diǎn)．
（1）若橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且焦距為2

2

，長軸頂點(diǎn)和短軸頂點(diǎn)間的距離為2．求該橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．并求出當(dāng)θ=arctan

3

4

時(shí)，其兩個焦點(diǎn)F₁、F₂經(jīng)變換公式T變換后得到的點(diǎn)F_1^′和F₂^′的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)θ=arctan

3

4

時(shí)，求（1）中的橢圓C在變換T下的所有不動點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）試探究：中心為坐標(biāo)原點(diǎn)、對稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線在變換T：

cosθ•x+sinθ•y=x′ ′sinθ•x-cosθ•y=y′

（θ≠

kπ

2

，k∈Z）下的不動點(diǎn)的存在情況和個數(shù)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），求出c，a，b然后結(jié)合定義變換T，求出點(diǎn)F_1^′和F₂^′的坐標(biāo)．
（2）θ=arctan

3

4

時(shí)，利用（1）中的橢圓C在變換T下，點(diǎn)P（x，y）∈C，根據(jù)橢圓方程求出的不動點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)P（x，y）是雙曲線在變換下的不動點(diǎn)，推出

y

x

=

1-cosθ

sinθ

=

sinθ

1+cosθ

=tan

θ

2

，設(shè)雙曲線方程為

x2

m

+

y2

n

=1（mn＜0），y=tan

θ

2

x代入，推出

n+mtan2 θ 2

mn

x2=1 討論mn＜0，故當(dāng)n+mtan2

θ

2

=0時(shí)，方程

n+mtan2 θ 2

mn

x2=1無解；
當(dāng)n+mtan2

θ

2

≠0時(shí)，要使不動點(diǎn)存在，則需x2=

mn

n+mtan2 θ 2

＞0，
因?yàn)閙n＜0，故當(dāng)n+mtan2

θ

2

＜0時(shí)，雙曲線在變換T下一定有2個不動點(diǎn)，否則不存在不動點(diǎn)．
進(jìn)一步分類：
（i）當(dāng)n＜0，m＞0下一定有2個不動點(diǎn)；
（ii）當(dāng)n＞0，m＜0時(shí)，雙曲線在變換T下一定有2個不動點(diǎn)．

解答：解：（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由橢圓定義知焦距2c=2

2

?c=

2

，即a²-b²=2①．
又由條件得a²+b²=4②，故由①、②可解得a²=3，b²=1．
即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

3

+y2=1．
且橢圓C兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為F1(-

2

，0)和F1(

2

，0)．
對于變換T：

cosθ•x+sinθ•y=x′ ′sinθ•x-cosθ•y=y′

，當(dāng)θ=arctan

3

4

時(shí)，
可得

4 5 x+ 3 5 y=x′ 3 5 x- 4 5 y=y′

設(shè)F₁^′（x₁，y₁）和F₂^′（x₂，y₂）分別是由F1(-

2

，0)和F1(

2

，0)的坐標(biāo)由變換公式T變換得到．于是，

x1= 4 5 •(- 2 )+ 3 5 •0=- 4 2 5 y1= 3 5 •(- 2 )- 4 5 •0=- 3 2 5

，即F₁^′的坐標(biāo)為(-

4 2

5

，-

3 2

5

)；
又

x2= 4 5 • 2 + 3 5 •0= 4 2 5 y2= 3 5 • 2 - 4 5 •0= 3 2 5

即F₂^′的坐標(biāo)為(

4 2

5

，

3 2

5

)．
（2）設(shè)P（x，y）是橢圓C在變換T下的不動點(diǎn)，則當(dāng)θ=arctan

3

4

時(shí)，
有

4 5 x+ 3 5 y=x 3 5 x- 4 5 y=y

?x=3y，由點(diǎn)P（x，y）∈C，即P（3y，y）∈C，
得：

(3y)2

3

+y2=1

y=± 1 2 x=3y

，因而橢圓
的不動點(diǎn)共有兩個，分別為(

3

2

，

1

2

)和(-

3

2

，-

1

2

)．
（3）設(shè)P（x，y）是雙曲線在變換
下的不動點(diǎn)，則由

cosθ•x+sinθ•y=xsinθ•x-cosθ•y=y

?

sinθ•y=(1-cosθ)•xsinθ•x=(1+cosθ)•y

因?yàn)?span id="3yemzxg" class="MathJye">θ≠

kπ

2

，k∈Z，故

y

x

=

1-cosθ

sinθ

=

sinθ

1+cosθ

=tan

θ

2

．
不妨設(shè)雙曲線方程為

x2

m

+

y2

n

=1（mn＜0），由y=tan

θ

2

x代入得
則有

x2

m

+

(tan θ 2 •x)2

n

=1?

n+mtan2 θ 2

mn

x2=1，
因?yàn)閙n＜0，故當(dāng)n+mtan2

θ

2

=0時(shí)，方程

n+mtan2 θ 2

mn

x2=1無解；
當(dāng)n+mtan2

θ

2

≠0時(shí)，要使不動點(diǎn)存在，則需x2=

mn

n+mtan2 θ 2

＞0，
因?yàn)閙n＜0，故當(dāng)n+mtan2

θ

2

＜0時(shí)，雙曲線在變換T下一定有2個不動點(diǎn)，否則不存在不動點(diǎn)．
進(jìn)一步分類可知：
（i）當(dāng)n＜0，m＞0時(shí)，即雙曲線的焦點(diǎn)在
軸上時(shí)，?n+mtan2

θ

2

＜0?tan2

θ

2

＜-

n

m

；
此時(shí)雙曲線在變換
下一定有2個不動點(diǎn)；
（ii）當(dāng)n＞0，m＜0時(shí)，即雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，?n+mtan2

θ

2

＜0?tan2

θ

2

＞-

n

m

＞0．
此時(shí)雙曲線在變換T下一定有2個不動點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查解橢圓的應(yīng)用，橢圓的簡單性質(zhì)，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力，分類討論思想，是難題，創(chuàng)新題．