Question

（2010•南寧二模）設(shè)函數(shù)f（x）=

1

3

x³-x²+ax，g（x）=2x+b，當(dāng)x=1+

2

時(shí)，f（x）取得極值．
（Ⅰ）求a的值
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-3，4]時(shí)，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，求出其導(dǎo)函數(shù)的解析式，利用函數(shù)在極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于0，可求出a的值．（II）設(shè)f（x）=g（x），則得 b=

1

3

x3-x2-3x．設(shè) F(x)=

1

3

x3-x2-3x，G（x）=b，由F'（x）的符號(hào)判斷
函數(shù)F（x）的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，從而求出F（x）的值域，由題意得，函數(shù)F（x）與G（x）的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，
從而得到b的取值范圍．

解答：解：（I）由題意f'（x）=x²-2x+a，
∵當(dāng)x=1+

2

時(shí)，f（x）取得極值，
∴所以 f′(1+

2

)=0，
∴(1+

2

)2-2(1+

2

)+a=0，
∴即a=-1
（2）設(shè)f（x）=g（x），則

1

3

x3-x2-3x-b=0，b=

1

3

x3-x2-3x，
設(shè)F（x）=

1

3

x3-x2-3x，G（x）=b，F(xiàn)'（x）=x²-2x-3，令F'（x）=x²-2x-3=0解得x=-1或x=3，
∴函數(shù)F（x）在（-3，-1）和（3，4）上是增函數(shù)，在（-1，3）上是減函數(shù)．
當(dāng)x=-1時(shí)，F(xiàn)（x）有極大值F（-1）=

5

3

；當(dāng)x=3時(shí)，F(xiàn)（x）有極小值F（3）=-9，
∵函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，F(xiàn)（-3）=-9，F(xiàn)（4）=-

20

3

，
∴函數(shù)F（x）與G（x）的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合圖象可得
∴-

20

3

＜b＜

5

3

或b=-9，
∴b∈(-

20

3

，

5

3

)∪{-9}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于0，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間、極值，求函數(shù)在閉區(qū)間上的值域．