Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，平行于x軸且過(guò)點(diǎn)A(3

3

，2)的入射光線l₁被直線l：y=

3

3

x反射，反射光線l₂交y軸于B點(diǎn)．圓C過(guò)點(diǎn)A且與l₁，l₂相切．求l₂所在的直線的方程和圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）欲求l₂所在的直線的方程，即求直線l₁關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)的直線方程，l₂所在的直線必過(guò)直線l₁與直線l的交點(diǎn)，再利用對(duì)稱(chēng)直線傾斜角間的關(guān)系求出l₂的傾斜角進(jìn)而得其斜率即可求得其方程；
（2）欲求圓C的方程，關(guān)鍵是求出其半徑與圓心坐標(biāo)，由已知得圓C與l₁切于點(diǎn)A，設(shè)C（a，b），利用圓心C在過(guò)點(diǎn)D且與l垂直的直線上，及圓心C在過(guò)點(diǎn)A且與l₁垂直的直線上，列式求出圓心坐標(biāo)及圓C的半徑即得所求圓C的方程．

解答：解：直線l₁：y=2，設(shè)l₁交l于點(diǎn)D，則D（2

3

，2）．
∵l的傾斜角為30°，∴l(xiāng)₂的傾斜角為60°，（2分）
∴k2=

3．

∴反射光線l₂所在的直線方程為
y-2=

3

(x-2

3

)．即

3

x-y-4=0．（4分）
已知圓C與l₁切于點(diǎn)A，設(shè)C（a，b）
∵圓心C在過(guò)點(diǎn)D且與l垂直的直線上，
∴b=-

3

a+8①（6分）
又圓心C在過(guò)點(diǎn)A且與l₁垂直的直線上，
∴a=3

3

②，由①②得

a=3 3 b=-1

，
圓C的半徑r=3．
故所求圓C的方程為(x-3

3

)2+(y+1)2=9．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱(chēng)的直線方程、圓的方程、切線的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、方程思想．屬于基礎(chǔ)題．