Question

22.已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足

S_n=2a_n+（－1）ⁿ,n≥1.

（Ⅰ）寫出數(shù)列{a_n}的前3項(xiàng)a₁,a₂,a₃;

（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式;

（Ⅲ）證明：對(duì)任意的整數(shù)m＞4,有++…+＜.

Answer 1

22.本小題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式,等比數(shù)列的前n項(xiàng)和以及不等式的證明.考查靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

（Ⅰ）解：由a₁=S₁=2a₁－1,得a₁=1.

由a₁+a₂=S₂=2a₂+（－1）²,得a₂=0.

由a₁+a₂+a₃=S₃=2a₃+（－1）³,得a₃=2.

（Ⅱ）解：當(dāng)n≥2時(shí),有

a_n=S_n－S_n－1=2（a_n－a_n－1）+2×（－1）ⁿ，

a_n=2a_n－1+2×（－1）^n－1，

a_n－1=2a_n－2+2×（－1）^n－2，

……

a₂=2a₁－2.

所以a_n=a₁+×（－1）+×（－1）²+…+2×（－1）^n－1

=2^n－1+（－1）ⁿ［++…+（－2）］

=－（－1）ⁿ

=［2^n－2+（－1）^n－1］.

經(jīng)驗(yàn)證a₁也滿足上式,所以a_n=［2^n－2+（－1）^n－1］,n≥1.

（Ⅲ）證明：由通項(xiàng)公式得a₄=2.

當(dāng)n≥3且n為奇數(shù)時(shí),+=［］

=×＜×

=（+）.

當(dāng)m＞4且m為偶數(shù)時(shí),++…+

=+（+）+…+（+）

<+（++…+）

=+××（1－）

<+=.

當(dāng)m>4且m為奇數(shù)時(shí)，

++…+<++…++<.

所以對(duì)任意整數(shù)m>4,有

++…+<.