Question

已知函數(shù)f(x)=-x³+3x²+9x+a.

(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;

(2)若f(x)在區(qū)間［-2,2］上的最大值是20,求它在該區(qū)間上的最小值.

Answer 1

思路分析:本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值的方法.對(duì)于(1)先求出f′(x),解不等式f′(x)＜0即可.(2)由f(x)的最大值為20,求出a,進(jìn)而求出最小值.

解:(1)f′(x)=-3x²+6x+9.令f′(x)＜0,解得x＜-1或x＞3.

∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1),(3,+∞).

(2)∵f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,

∴f(2)＞f(-2).

∵在(-1,3)上f′(x)＞0,∴f(x)在［-1,2］上單調(diào)遞增.

又由于f(x)在［-2,-1］上單調(diào)遞減,

∴f(2)和f(-1)分別是f(x)在區(qū)間［-2,2］上的最大值和最小值.

于是有22+a=20,解得a=-2.

∴f(x)=-x³+3x²+9x-2.

∴f(-1)=1+3-9-2=-7,

即函數(shù)f(x)在區(qū)間［-2,2］上的最小值為-7.

    深化升華 本題考查多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)最值的方法,做題時(shí)注意應(yīng)先比較f(-2)和f(2)的大小,然后判定哪個(gè)是最大值從而求出a.